内容发布更新时间 : 2025/1/7 6:30:05星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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号12）*2。

第一部分 函数、极限和连续

一、函数的定义域、函数的特性（有界性单调性奇偶性等）

f(x)?M或a?f(x)?b

如：y?sinx,y?cosx，反三角函数

有界：

说明：分段函数一般不是初等函数，但也有特例。如

y???xx?02??xx?0?x

二、极限的概念与计算 1、左极限：

?xlim?xf(x)?f(x0)?f(x0?0)?A，

0?右极限：

xlim?f(x)?f(x??0)?f(x0?0)?A x0结论:

xlim?xf(x)?A?xlim0?x0?f(x)?xlim?x0?f(x)?A 2、xlim???f(x)?A和xlim???f(x)?A

结论:

limx??f(x)?A?xlim???f(x)?xlim???f(x)?A

三、极限的运算

1、无穷小与有界函数的乘积是无穷小。例:limsinxx??

2、(0x0型)

例:limx?32x?3x?3x2?9、limx?1x2?5x?4??

1

? 3、(型)

?mm?12a0x?a1x???amx?2x?5例：lim、lim

2nn?1x??3x?x?1x??bx?bx???bn01n2??23???n?2n3?23??limnn?1?lim?3

nn??2?3n???2????3?3?11n?11?2???(?1)] 4、例:lim[nn??222 (含数列之和,先求和) 四、无穷小与无穷大 1、无穷小与无穷大的判别。

x?1例：f(x)?何时是无穷小？何时是无穷大？是否有水平或铅直渐近线？

x2x练习：f(x)?何时是无穷小？何时是无穷大？是否有水平或铅直渐近线？

x?1

2、无穷小的比较：

2?(x)?(x)?(x)lim?0， lim??， lim?1

?(x)?(x)?(x)五、两个重要极限 1、夹逼准则： 若

yn?xn?zn，limyn?limzn?a， limxn?a

n??n??n??2

sinx?1 2、第一类重要极限： limx?0x0 特点：(1)型 (2)含三角函数或反三角函数

0sin3x例: lim，

x?0xtg2xsin2x1lim?limx?03xx?03xcos2x ，

2sin2x12?lim?3x?02xcos2x32x2sin1?cosx2， lim?lim22x?0x?0xxsinxarcsinxsin3x lim,lim,lim x?0x?0sin2xx??x??x3、第二类重要极限：

1xlim(1?)?lim(1?x)?e x??x?0x1特点：(1)底数:1???1 (2)指数:??

1xx?1x例:求 lim(1?2x)lim()

x?0x??x?11x，

?六、函数的连续性 1、定义

x?x0limf(x)?f(x0)

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