内容发布更新时间 : 2025/4/4 20:14:34星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

因此，直线AB的水平投影ab与平面P的水平投影p的交点便是交点K的水平投影k。根据点在直线上的投影特点，可在a′b′上求出k′。

作图方法

（a）已知条件 （b）在直线AB的水 （c）自k向上作OX （c）判断可见性。

平投影ab和平面的 轴垂线，与直线AB 积聚投影p的交点 的正面投影a′b′交于 处标出交点的水平 k′，k′为交点的正面 投影k； 投影。

图3-41 求作一般位置直线与铅垂面的交点

因为平面P为铅垂面，所以看水平投影时直线都看得见（未被平面遮挡）；从水平投影上可以看出，ak在p面之前，所以其正面投影a′k′为可见，b′k′与p′重影部分为不可见。

【例3-18】 已知铅垂线MN和一般位置平面ΔABC相交，求它们的交点K。 分析：因为铅垂线MN的水平投影有积聚性，所以位于铅垂线MN上的交点K的水平投影k必然与铅垂线的水平投影m（n）重合。交点的水平投影的位置确定之后，就可以利用面上定点的方法求出交点的正面投影k′。

（a）已知条件 （b）在铅垂线MN的水 （c）在平面内过k点作 （d）判断可见性

平积聚投影m（n）上， 辅助线ad，并作出它 标出交点K的水平投影 的正面投影a′d′，a′d′与 k； m′n′的交点k′即为交点K

的正面投影。

图3-42 求作铅垂线与一般位置平面的交点

- 6 -

因为铅垂线MN的水平积聚为一个点，不判断可见性，只需判断V面投影的可见性。利用两条直线交叉对V面的重影点，来判断其正面投影的可见性。在V面投影上，直线上的点Ⅰ（1′，1）和AB上的点Ⅱ（2′，2），它们的正面投影重合，，从水平投影可以看出，ab上的点2在后，mn上的点1在前，故k′n′为可见，m′k′和Δa′b′c′的重影部分为不可见，画虚线。

（2）平面与平面相交

图3- 43所示为铅垂面ΔABC与一般位置平面ΔEFG相交。铅垂面ΔABC的水平投影具有积聚性，积聚投影与一般位置平面ΔEFG的水平投影重合部分，即为交线的投影，而交线的另一投影必在该平面的另一投影上。

图3-43 铅垂面与一般平面相交

两平面相交后，假定两平面都是不透明的，则它们必定互相遮挡，而且不管对哪个平面来说，都是以交线为分界，被遮挡的部分看不见，未被遮挡的部分看得见。交线是可见的。

【例3-19】 求作铅垂面ΔABC与一般位置平面ΔEFG的交线MN。

分析：因为铅垂面ΔABC的水平投影具有积聚性，所以位于铅垂面上的交线其水平投影必定积聚在铅垂面的积聚投影上；交线的水平投影确定后，可利用一般位置平面上定线的方法作出交线的正面投影。

（a）已知条件 （b）在铅垂面的积聚投影（c）自m和n分别向上 （c）可见性的判断

Δabc上标出交线MN 作OX轴的垂线，与g′f′ 的水平投影mn（端点 和g′e′相交于m′和n′；

- 7 -

M和N实际上是GF 连接m′n′，m′n′即为交 边和GE边与ΔABC 线MN的正面投影。 平面的交点）；

图3-44 求作铅垂面与一般位置平面的交线

因为ΔABC是铅垂面，所以看水平投影时，Δabc积聚成直线，Δefg平面都看得见；看正面投影时，以交线m′n′为分界，Δe′f′g′的g′m′n′部分在铅垂面的后面，被铅垂面遮挡的部分为看不见，Δe′f′g′的e′f′m′n′部分在铅垂面的前面，未被遮挡为看得见。

【例3-20】 求作水平面ΔABC与正垂面P的线MN（图3-45（a））。 分析：由于水平面ΔABC与正垂面P的正面投影均具有积聚性，而交线又是两平面共有线，所以Δa′b′c′与p′的交点，即为交线的正面投影，故这两平面的交线是一条正垂线。

作图方法

（a）已知条件 （b）在水平面ΔABC的正 （c）过m′（n′）向下作轴 （d）可见性的判断

面投影Δa′b′c′与正垂面 的垂线，垂线在Δabc与 P的正面投影p′的交点 p的重影部分范围内的线 处标注出两平面交线 段mn，即是交线MN的

- 8 -

MN的正面投影m′（n′）； 水平投影。

图3-45 求作水平面与正垂面的交线

因为ΔABC是水平面，P是正垂面，所以V面投影不需判断可见性。交线MN

把平面ΔABC和P各分为两部分，从V面投影可以看出，MNAB在平面P的下方，MNC在平面P的上方，所以mnab与p重影部分为不可见，mnc和p重影部分为可见。交线mn为可见

当两个铅垂面相交，其交线为一铅垂线。如图3-46所示，两铅垂面的水平投影有积聚性，而交线具有共有性，所以积聚投影的交点即为交线的水平投影，交线是一条铅垂线。

（a）直观图 （b）投影图

图3-46 两铅垂面相交

同理，两个正垂面相交，交线为一条正垂线；两个侧垂面相交，交线为一条侧垂线。学员可根据上图绘出这两种情况的投影图。

3.3.5.2一般情况相交

一般情况相交，是指参与相交的无论是直线还是平面在投影体系中均处于一般位置。

可通过作辅助面的方法求出交点或交线的投影。

在这种情况下，它们的投影无积聚性，直线与平面交点投影、平面与平面交线的投影不能利用积聚性求出。通常可通过作辅助面的方法求出交点或交线的投影。下面我们讲一下利用辅助面法求交点和交线的作图方法。

（1）直线与平面相交

图3-47（a）所示为一般位置直线EF和一般位置平面ΔABC相交。

为求EF和平面ΔABC交点的投影，见图3-47（b）所示，可通过直线EF作辅

- 9 -

助平面P，与平面ΔABC的交于直线MN，同在平面P上的两直线EF和MN（MN为ΔABC上的一条直线），必有一交点K，即为直线EF与平面ΔABC的交点。因为K在EF上，又在MN上，所以必在EF和平面ΔABC，即K为EF与平面ΔABC的公有点，亦即所求的交点。这种求交点的方法称为辅助平面法。

（a） （b） 图3-47 一般直线与一般平面相交

通过辅助平面法求交点，具体分为三个步骤：

（1）过已知直线作一辅助平面。为使作图简单，辅助平面应选择投影面的垂直面，如正垂面、铅垂面等；

（2）求出辅助平面和已知平面的交线；

（3）已知直线和上述交线的交点，即为直线与平面的交点。

下面通过图3-48看一下求直线EF和平面ΔABC的交点投影作图方法。 作图方法

（a）已知条件 （b）包含直线EF作铅垂面P， （c）求出平面P与平面ΔABC

- 10 -