内容发布更新时间 : 2024/12/24 3:36:34星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺
limx2?2x?5x?0=5
??4?sin2??lim?3=1
2sinx??x??cos22?cos?x??2xx?x?x?x22limsinx?sin??limx??x??x??lim
x????1xx2?x?x2?x?lim1x??xlim?x????1lime?ex???e0?1
limlnx?0sinx?sinx??ln?lim?ln1?0?x?0xx??x21?1??1?lim?1???lim?(1?)??e2x??x??x?x???1x12
20. 设函数
f(0)?a?exf?x????a?xx?0x?0, 应怎样选择a，使f?x?在???,???内连续。
f(0?0)?limex?1x?0?
b?0,?a?1时，f(x)在（－?，＋?）内连续21. 证明方程x?asinx?b其中a?0,一正根，并且它不超过a?b.
至少有
证明：令f(x)?asinx?b?x显然，f(x)在?0，a?b?上连续f(0)?b?0f(a?b)?asin(a?b)?b?a?b?asin(a?b)?a?0若f(a?b)?0,取?＝a?b;若f(a?b)?0,???(0,a?b)使f(?)?0?方程至少有一正根且不超过a?b.
22. 若f?x?在?a,b?上连续，a?x1, 则在
?x,x?上必有?, 使
1?x2????xn?bnf????f?x1??f?x2???f?xn?n.
证明：f(x)在?x1,xn?连续，?最大值M与最小值m，使m?f(x)?M,i?1,2,...,n?nm??f(?i)?nMi?1n即m??f(?)ii?1nn?Mf(x1)?f(x2)?...?f(xn)n由介值定理，????x1,xn?使f(?)?
23. 证明: 若f?x?在???,???内连续, 则
f?x?limf?x?x??存在,
.
必在
???,???内有界
证明：设limf(x)?A，对??1，?X当x?X时，有f(x)?A?1成立,即x??f(x)?1?A又f(x)在??X,X?上连续，故有界,即?M1使f(x)?M1取M＝max?M1,1?A?，则对?x?(??,??)，有f(x)?M，即f(x)在(??,??)内有界。
第二章 导数与微分
典型例题解析
f(x0?x)?f(x0?3x)例1 设f(x)在x0处可导，求lim． x?0x分析 所求极限与f?(x0)的定义式子很相似，则由f?(x0)的定义即可求解．
f(x0?x)?f(x0?3x)[f(x0?x)?f(x0)]?[f(x0)?f(x0?3x)]解 lim= limx?0x?0xx=
limx?0f(x0?x)?f(x0)f(x0?3x)?f(x0) ?3limx?0x?3x=f?(x0)?3f?(x0)=4f?(x0)．
错误解答 令x0?3x?t，则x0?3x?t，
limx?0f(x0?x)?f(x0?3x)x=
limx?0f(t?4x)?f(t)x=
4limf?(t)
x?0（1）
=4limf?(x0?3x)=4f?(x0)． （2） x?0错解分析 式（1）用到f(x)在点t的导数；式（2）用到f?(x)在点x0连续．但是题目只是给出f(x)在x0处可导的条件，而f(x)
在x0的邻域内是否可导以及f?(x)在x0处是否连续都未知．所以上述做法中的式（1）与式（2）有可能不成立．
例2 设f(x)??(a?bx)??(a?bx)，其中?(x)在(??,??)上有定义且在点a处可导．试求f?(0)．
分析 求函数在某一点的导数可以用导数的定义来求；也可先求导函数，然后求导函数在该点的函数值，但在本题中函数f(x)的可导性未知，故只能用定义来求．
f(x)?f(0)?(a?bx)??(a?bx)解 当b?0时，lim= limx?0x?0x?0x=
lim[?(a?bx)??(a)]?[?(a?bx)??(a)] x?0x=
blimx?0?(a?bx)??(a)bx?blimx?0?(a?bx)??(a)?bx
=b??(a)?b??(a)=2b??(a)．
所以f?(0)=2b??(a)．
当b?0时，f(x)?0，f?(0)?0． 综上所述，f?(0)=2b??(a)．
)?(x )，其中?(x)的一阶导函数有例3 设函数f(x)?(x?a2界．求f??(a)．
分析 求函数在某一点的二阶导数可以用导数的定义来求，但必须先求出一阶导数；也可先求出二阶导函数，然后求二阶导函数在该点的函数值，但在本题中函数f?(x)的可导性未知，故只能用定义来求．
解 由于f?(x)?2(x?a)?(x)?(x?a)2??(x)，则有f?(a)?0．又
2(x?a)?(x)?(x?a)2??(x)f?(x)?f?(a)=lim limx?ax?ax?ax?a=lim[2?(x)?(x?a)??(x)]=2?(a), x?a所以f??(a)=2?(a)．