内容发布更新时间 : 2024/12/23 23:05:34星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
错误解答 因为
f?(x)?2(x?a)?(x)?(x?a)2??(x),
f??(x)?2?(x)?2(x?a)??(x)?2(x?a)??(x)?(x?a)2???(x),
所以f??(a)=2?(a).
错解分析 此解法错误的根源在于?(x)的一阶导函数有界并不能保证?(x)二阶可导.而上述求解却要用到???(x).
注 此题用到如下结论:
a.有界量与无穷小的乘积仍为无穷小;b.可导必连续.
f?(x?a)例4 设f(x)的一阶导数在x?a处连续且lim?1,则x?0x( ).
A.f(x)在x?a处的二阶导数不存在. B.limf??(x?a)一x?0定存在.
C.f??(a)?1. D.f?(a)?2.
f?(x?a)解 因为lim所以lim由于f?(x)在x?a处f?(x?a)?0,?1,x?0x?0x连续,故
f?(a)?0.
f?(x?a)?f?(a)f?(x?a)?lim?1,所以f??(a)?1.选C. 又因为limx?0x?0(x?a)?ax
例5 设f(x)在x?0的某个邻域内有定义,x、y为该邻域
内任意两点且f(x)满足条件:
(1)f(x?y)?f(x)?f(y)?1; (2)f?(0)?1.
试证在上述邻域内f?(x)?1.
分析 此处无法用求导公式和求导法则证明f?(x)?1.由于f(x)的表达式未给出,故只能考虑从定义出发.如果用条件(2),则需先求出f(0).
证明 因为f(x)在x?0的某个邻域内有定义,记该邻域为
1y?0,则E,则对任意x、y?E,有f(x?y)?f(x)?f(y)?.令
.于是对任意x?E,当x??x?E及?x?E时,考虑下列极f(0)??1限
f(x??x)?f(x)[f(x)?f(?x)?1]?f(x)= limlim?x?0?x?0?x?xf(?x)?(?1)=?lim x?0?xf(?x)?f(0)=?lim x?0?x=f?(0)=1,
故f?(x)?1,x?E.
例6(04研) 设函数f(x)连续,且f?(0)?0,则存在??0,使得( ).
A.f(x)在(0,?)内单调增加. B.f(x)在(??,0)内单调减少.
C.对任意的x?(0,?)有f(x)?f(0). D.对任意的x?(??,0)有f(x)?f(0).
解 由导数定义知
f(x)?f(0)f?(0)?lim?0. x?0x?0根据极限的保号性,知存在??0,当x?(??,0)f(x)?f(0)?0.
x(0,?)时,有
因此
当x?(??,0)时,有f(x)?f(0);当x?(0,?)时,有f(x)?f(0),故选C.
注 函数f(x)只在一点的导数大于零,一般不能推导出单调性,题设告诉函数在一点可导时,一般应联想到用导数的定义进行讨论.
例7 设不恒为零的奇函数f(x)在x?0处可导.试说明x?0为函数
f(x)x的哪一类间断点.
解 由题设知f(?x)??f(x),令x?0可得f(0)?0.则
limx?0f(x)xf(x)?0=lim=f?(0), x?0x?0于是
f(x)x在x?0处有极限.从而x?0是
f(x)x的可去间断点.
例8 设函数f(x)可导,F(x)?f(x)(1?sinx),则f0)(0?是F(x)在
. x?0处可导的( )
A.充分必要条件 . B.充分条件但非必要条件.
C.必要条件但非充分条件. D.既非充分条件又非必要条件.
分析 F(x)表达式中含有绝对值符号,又要考查函数在一点的导数的存在性,因此要考虑函数的左右导数.
解 由导数定义
F(x)?F(0), F?(0)?limx?0x?0知
F??(0)?lim?x?0F(x)?F(0)f(x)(1?sinx)?f(0) ?limx?0?x?0xf(x)?f(0)f(x)sinx ?limx?0?x?0x?lim?x?0?f??(0)?f(0)?f?(0)?f(0),
F??(0)?lim?x?0F(x)?F(0)f(x)(1?sinx)?f(0) ?limx?0?x?0x?f??(0)?f(0)?f?(0)?f(0),
可见F?(0)存在?F??(0)?F??(0),即f(0)?0.故选A.
例9(01研) 设f(0)?0,则f(x)在点x?0可导的充要条件
为( ).
1A.limh?02hh1C.limh?02f(1?cosh)存在. f(h?sinh)存在.
1 B.limf(1?eh)存在. h?0h1 D.lim [f(2h)?f(h)]存在.h?0h分析 本题主要考查导数的定义,另外也考查了某些无穷小量的阶以及它们的正负号.
解 注意到1?cosh?0,且lim(1?cosh)?0. h?01如果limh?02h1 limh?02f(1?cosh)存在.则
?f(1?cosh)?f(0)1?cosh?f(1?cosh)?lim??2? h?0h1?cosh?0h??f(1?cosh)?f(0)1?cosh ?lim ?lim2h?0h?01?cosh?0h1f(1?cosh)?f(0)1f(u)?f(0)1?lim?lim?f??(0)2h?01?cosh?02u?0?u?02.
所以A成立只保证f??(0)存在,而不是f?(0)存在的充分条件.
1如果limf(1?eh)存在,则 h?0h?f(1?eh)?f(0)1?eh?1hlimf(1?e)?lim??? hh?0hh?01?e?0h??f(1?eh)?f(0)1?eh?lim?limh?0h?01?eh?0h
?(?1)limu?0f(u)?f(0)??f?(0), u?0故B是f?(0)存在的充要条件.
对于C,
1f(h?sinh)?f(0)h?sinh, f(h?sinh)??h2h?sinh?0h2