内容发布更新时间 : 2024/12/24 3:02:15星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
f??(1)?lim?x?1f(x)?f(1)1?1?lim?0， x?1?x?1x?1故x?1为不可导点．同理x??1也为不可导点．故选C． 例15 设F(x)?max{f1(x),f2(x)}的定义域为(?1,1)，其中 f1(x)?x?1，f2(x)?(x?1)2，
试讨论F(x)的可导性．若可导，求其导数．
分析 本质上F(x)是分段函数即
?f(x),f1(x)?f2(x)F(x)??1，
f(x),f(x)?f(x)?212由此可知需先解出不等式
?f1(x)?f2(x)???1?x?1
与 ??f1(x)?f2(x)??1?x?1．
解
?x?1?(x?1)2?f1(x)?f2(x)由?即??1?x?1???1?x?1解得?1?x?0，此时F(x)?1?x．
?x?1?(x?1)2?f1(x)?f2(x)而由?即??1?x?1???1?x?1解得0?x?1，此时F(x)?(1?x)2．则有
?1?x?0?1?x, F(x)?? 2(1?x), 0?x?1?且
?1?x?0?1, F'(x)??
0?x?1?2(1?x), 当x?0时，
F(x)?F(0)limx?0?x?0x?0(1?x)2?1=xlim=2， ?0?xlim?F(x)?F(0)x?0(1?x)?1=xlim=1， ?0?x
即F?(0)?F?(0)，所以F(x)在x?0处不可导．故
???1?x?0?1, F?(x)??．
2(1?x), 0?x?1?例16 设函数何选择a,b？
??exf(x)????ax?b2x?1，若要f(x)为可导函数，应如x?1解 显然当x?1及x?1时，f(x)可导，故要使f(x)为可导函数，只需使其在x?1处可导．由可导与连续的关系，应该首先选择a,b，使其在x?1连续．因
f(1)?e，f(1?)?e，f(1?)?a?b，
故当a?b?e即b?e?a时，f(x)在x?1连续．又
f(x)?f(1)ex?eex?1?1x2?1f??(1)?lim?lim?elim?elim?2e， x?1?x?1?x?1x?1?x?1x?1?x?1x?1f(x)?f(1)ax?b?eax?(e?a)?ef??(1)?lim?lim?lim?a， x?1?x?1?x?1?x?1x?1x?122因此当a?2e,b??e时，f?(1)存在，从而f(x)为可导函数．
例17 设f(x)?sinx，?(x)?x2．求f[??(x)]，f?[?(x)]，[f(?(x))]?． 分析 三个函数中都有导数记号，其中f[??(x)]表示函数求得??(x)后再与f复合；?(x)对x求导，f?[?(x)]表示函数f对?(x)求
导，即f(u)对u求导，而u??(x)；[f(?(x))]?表示复合函数f[?(x)]关于自变量x求导．
解 f?(x)?cosx，??(x)?2x．则
f[??(x)]=f(2x)=sin2x，f?[?(x)]=cosx2，
以及
[f(?(x))]?=f?[?(x)]???(x)=2xcosx2．
例18 设y?sin2(1?lnx)．求dy．
xdx分析 本题既可直接由复合函数求导法则求导，也可利
用微分的形式不变性先求出dy，然后可得dy．
dx解法1 直接由复合函数求导法则，令u?sinv，v?1?lnx，
x则
dydx=dy?du?dv
dudvdx=2u?cosv?lnx2?2
x=lnx2?2?sin2(1?lnx)．
xx解法2 利用一阶微分的形式不变性
1?lnx1?lnx1?lnxdy=dsin2()=2sin()dsin()
xxx=2sin(1?lnx)cos(1?lnx)d(1?lnx)=lnx2?2?sin2(1?lnx)dxxxxxx
故
dydx?21?lnx=lnx2?sin2()． xx
例19 设y?xaaa?ax?aaax，a?0．求dy．
dxa分析 xa为幂函数；ax为指数函数与幂函数复合而成的函数；而aa也为复合函数，它是指数函数与指数函数复合而
x成的函数．
解 dy=(xdxaa)??(ax)??(aa)?=aa?xaaxa?1?(exa?lna)??(eax?lna)?
=a=a
a?xa?xaa?1?ax?lna?(xa)??aa?lna?(ax)?
axaa?1?ax?alna?xa?1?aa?ax?(lna)2
ax=aa?xaa?1?axa?1?ax?lna?(lna)2?aaax?x．
例20 若??(x)存在，y??(sec2x)?arcsinx．求dy．
分析 可以先求出dy，也可利用微分的形式不变性求一
dx阶微分．
解法1 dy=??(sec2x)(sec2x)??dx11?x2=2??(sec2x)?sec2xtanx?11?x2，
所以
dy=[2??(sec2x)?sec2xtanx?11?x2]dx．
解法
dx1?x22
dy=d[?(sec2x)?arcsinx]=d?(sec2x)?darcsinx=??(sec2x)dsec2x?=[2??(sec2x)?sec2xtanx?11?x2]dx．
例21 设f?(cosx)?cos2x．求f??(x)． 解法1 在f?(cosx)?cos2x的两边微分，得
f??(cosx)dcosx??2sin2xdx， 即
f??(cosx)?(?sinx)dx??4sinxcosxdx，
化简得
f??(cosx)?4cosx．
令cosx?t，则f??(t)?4t．于是可得
f??(x)?4x，|x|?1．
解法2 由于