内容发布更新时间 : 2024/12/24 9:32:55星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
例
?x?3t2?2t?3d2y?35 设y?y(x)是由?y所确定．求2|t?0．
dxesint?y?1?0??分析 此题为隐函数求导与由参数方程所确定函数的求
导的综合问题．
解法1 在x?3t2?2t?3两边对t求导得
dxdt?6t?2．
由eysint?y?1?0得y|t?0?1，对方程两边关于t求导得
dyeycostdt?1?e=eycostysint2?y．
dy则有dy|t?0?e，dydtdx=
dt=
eycostdx(2?y)(6t?2)．故
dtd2ydx2=
ddt(dydx)?dtdx(dydt?eycost?eysint)(2?y)(6t?2)?eycost[6(2?y)?dydt?(6t?2)](2?y)2(6t?2)3，
所以d2y2e2dx|?3e2t?0=4．
解法2 由t?0得x?3，y?1．又
dx?6dy?eycostdtt?2，
dt1?=eycosteysint2?y，
dy故dydt=
eycostdx=
dx(2?y)(6t?2)，dydx|t?0?e2，
dtd2y=deycostcostdeyeydx2dx(2?y?6t?2)=6t?2?dx(2?y)?2?y?dcostdtdt(6t?2)?dx =cost(2?y)ey?eydyey?(6t?2)sin6t?2?(2?y)2?dx?2?y?t?6cost(6t?2)3，
所以d2y2e2?3dx|e2t?0=4．
=
解法
d2y3 运用公式2dx=
d2ydxdyd2x???dt2dtdtdt2dx()3dt．
两边
d2xdx容易求出|t?0?(6t?2)|t?0?2，2?6，y|t?0?1，对eysint?y?1?0dtdt分别关于t求一阶导数，得
dyydy?esint??eycost?0dtdt
从而dy|t?0?e，对dy?eysint?dy?eydtdtdtcost?0两边分别关于t求一阶导
数，得
d2yydy2ydyyd2y?esint?()?esint?2?ecost?2?eysint?0， 2dtdtdtdtd2yd2xd2ydxdy2由此可得2|t?0?2e．于是将|t?0?2，2?6，|t?0?e，2|t?0?2e2dtdtdtdtdt代入公式
d2ydx2=
d2ydxdyd2x???dt2dtdtdt2dx()3dtd2y2e2?3e，得2|t?0=．
dx4例36（04研） 曲线y?lnx上与直线x?y?1垂直的切线方
程为________．
分析 求切线方程，需先求斜率即求一阶导数，利用两直线（不平行坐标轴）垂直的关系：斜率互为负倒数．
解 直线x?y?1的斜率为k1??1，由y??(lnx)??1得k2?1，由
xxk1?k2??1得)于是所求切线方程为 x?1，从而切点为(1,0，
y?0?1?(x?1)，即y?x?1为所求．
例37（97研） 求对数螺线??e在点(?,?)?(e2,?)处的切
??2线的直角坐标方程．
分析 求切线方程，需先求斜率即求一阶导数，而对数螺线的方程为极坐标形式，故应先化为参数方程形式．
???x?ecos?解 由??e知????y?esin??，点(e?2,)的直角坐标为(0,e2)．又
2??由
dydx=
dyd?dxd?=cos??sin?
cos??sin?可知，当??时
2???dy??1．故所求切线方程为y?e2?(?1)?(x?0)即dxx?y?e2?0为所求．
例38 已知曲线f(x)?xn在点(1,1)处的切线与x轴的交点为
(?n,0)．求limf(?n)．
n??分析 先求出切线方程，然后求出该切线与x轴的交点坐标即可．
解 曲线在(1,1)处的切线斜率为
k?f?(1)?n?xn?1|x?1?n，
故切线方程为y?1?n(x?1)．令y?0，得该切线与x轴的交点的横坐标为?n?1?1．于是
n11 limf(?n)=lim(1?)n=lim(1?)(?n)?(?1)=e?1． n??n??n??nn例39 已知f(x)是周期为5的连续函数，其在x?0的某个
邻域内满足关系式
f(1?sinx)?3f(1?sinx)?8x??(x)，
其中?(x)是当x?0时比x高阶的无穷小且f(x)在x?1处可导．求曲线y?f(x)在点(6,f(6))处的切线方程．
分析 求f(x)在(6,f(6))处的切线方程，需求f(6)与切线斜率
f?(6)，而由f(x?5)=f(x)，可得f(6)?f(1)和
．故问题转化为求f(1)与f?(1)． f?(6)?f?(1)解 由题设条件有
x?0f?(x?5)?f?(x)，从而
lim[f(1?sinx)?3f(1?sinx)]?lim[8x??(x)]，
x?0从而f(1)?3f(1)?0，得f(1)?0．又
limx?0f(1?sinx)?3f(1?sinx)8x?(x)?lim[?]?8， x?0xxxsinxxf(1?sinx)?3f(1?sinx)sinx从而 lim??8， x?0f(1?sinx)?3f(1?sinx)即 lim?8． x?0sinx令t?sinx，则有
limx?0f(1?sinx)?3f(1?sinx)f(1?t)?3f(1?t)?lim?8, t?0sinxt即
f(1?t)?3f(1?t)f(1?t)?f(1)f(1?t)?f(1) lim?lim?3?limt?0t?0t?0tt?t?4f?(1)?8．
所以f?(1)?2．由f(x?5)=f(x)，可得f?(x?5)?f?(x)．则 f(6)?f(1)?0，f?(6)?f?(1)?2， 故所求切线方程为y?0?2(x?6)，即2x?y?12?0为所求．
例40 现有一深为18cm顶部直径为12cm的正圆锥漏斗，内盛满水，下接一直径为10cm的圆柱形水桶，水由漏斗进入水桶．试问当漏斗中水深为12cm且其水面下降速度为1cm/min时，圆柱形水桶中水面上升的速度为多少?(其中cm表示厘米，min表示分钟．)