内容发布更新时间 : 2024/5/8 1:55:14星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第1讲 曲线方程与抛物线
课后自测诊断——及时查漏补缺·备考不留死角
1.如图所示，已知圆A：(x＋2)＋y＝1与点B(2,0)，分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程．
(1)△PAB的周长为10.
(2)圆P与圆A外切，且过B点(P为动圆圆心)．
(3)圆P与圆A外切，且与直线x＝1相切(P为动圆圆心)． 解：(1)根据题意知，PA＋PB＋AB＝10， 即PA＋PB＝6＞4＝AB，
故P点轨迹是椭圆，且2a＝6,2c＝4， 即a＝3，c＝2，b＝5.
因此其轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
95(2)设圆P的半径为r，
则PA＝r＋1，PB＝r，因此PA－PB＝1.
由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，且2a＝1，2c＝4， 115即a＝，c＝2，b＝，
22
42?1?2
因此其轨迹方程为4x－y＝1?x≥?.
15?2?
(3)依题意知，动点P到定点A的距离等于到定直线x＝2的距离， 故其轨迹为抛物线，且开口向左，p＝4. 因此其轨迹方程为y＝－8x.
2.已知抛物线x＝2py(p>0)，F为其焦点，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，如图所示．
(1)求点C的轨迹M的方程；
(2)直线n是抛物线不与x轴重合的切线，切点为P，轨迹M与直线n交于点Q，求证：以线段PQ为直径的圆过点F.
解：(1)依题意可得，直线l的斜率存在， 故设其方程为y＝kx＋， 2
又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x，y)，
2
2
2
2
x2y2
px＝2py，??由?py＝kx＋?2?
2
?x－2pkx－p＝0?x1·x2＝－p.
2
2
2
易知直线OA的方程为y＝x＝x，直线BC的方程为x＝x2，
x12py1x1
x1??y＝x，
由?2p??x＝x2
2
得y＝
x1·x2p＝－， 2p2
p即点C的轨迹M的方程为y＝－.
2(2)证明：由题意知直线n的斜率存在． 设直线n的方程为y＝k1x＋m.
??x＝2py，由???y＝k1x＋m2
?x－2pk1x－2pm＝0?Δ＝4pk1＋8pm.
2
22
因为直线n与抛物线相切，
所以Δ＝0?pk1＋2m＝0，可得P(pk1，－m)．
y＝k1x＋m，??又由?py＝－?2?
?Q?－?p＋2m，－p?，
2??2k1?
2
p??p＋2mpp→→?，－p?所以FP·FQ＝?pk1，－m－?·?－＝－(p＋2m)＋pm＋＝0?FP⊥FQ， ?2??2k122??
所以以线段PQ为直径的圆过点F.
3．(2019·南京三模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线
y2＝2px(p＞0)及点M(2,0)，动直线l过点M交抛物线于A，B两点，
当l垂直于x轴时，AB＝4.
(1)求p的值；
(2)若l与x轴不垂直，设线段AB的中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2
经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上．
解：(1)因为l过M(2,0)，且当l垂直于x轴时，AB＝4， 所以抛物线经过点(2,2)，
代入抛物线方程，得4＝2p·2，解得p＝1.
(2)证明：设直线l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
?y＝2x，?
联立?
??y＝k?x－2?，
2
消去x，得ky－2y－4k＝0，
2
2
则y1＋y2＝，y1y2＝－4.
k因为C为AB中点，所以yC＝1
则直线l1的方程为y＝. y1＋y21
＝， 2kk因为直线l2过点M且与l垂直， 1
则l2的方程为y＝－(x－2)，
k1y＝，??k联立?1
y＝－??k?x－2?，
2
x＝1，??
解得?1
y＝，??k
?1?即P?1，?，
?
k?
所以点P在定直线x＝1上．
4．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y＝4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点．
(1)求线段AF的中点M的轨迹方程；
(2)若△AOB的面积是△BOF面积的3倍，求直线l的方程． 解：因为抛物线的方程为y＝4x，所以F(1,0)． (1)设M(x，y)，A(x1，y1)． 因为M为线段AF的中点，所以x＝
2
x1＋1
，y＝， 22
2
y1
则x1＝2x－1，y1＝2y，代入抛物线方程得y＝2x－1， 所以点M的轨迹方程为y＝2x－1. (2)由(1)知A(x1，y1)，
设B(x2，y2)，不妨令y1＞0，y2＜0， 设△AOF和△BOF的面积分别为S1，S2， 因为△AOB的面积是△BOF面积的3倍， 所以S1＋S2＝3S2，所以S1＝2S2.
111
因为S1＝OF·y1，S2＝OF·|y2|＝－OF·y2，所以y1＝－2y2.①
222易知直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为x＝ty＋1(t＞0)② 与y＝4x联立，消去x得y－4ty－4＝0， 解得y1,2＝2t±2t＋1，则y1＋y2＝4t，③
2
2
22
y1y2＝－4④