内容发布更新时间 : 2024/12/22 19:30:37星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

程，最终达到具有均匀温度的平衡状态。为求这一过程的熵变，我们将杆分为长度为的许多小段，如图所示。位于到的小段，初温为

（1）

这小段由初温T变到终温后的熵增加值为

（2）

其中是均匀杆单位长度的定压热容量。

根据熵的可加性，整个均匀杆的熵增加值为

（3）

式中是杆的定压热容量。

一物质固态的摩尔热量为，液态的摩尔热容量为. 假设和都可看作常量. 在某一压强下，该物质的熔点为，相变潜热为. 求在温度为时，过冷液体与同温度下固体的摩尔熵差. 假设过冷液体的摩尔热容量亦为.

解: 我们用熵函数的表达式进行计算.以为状态参量. 在讨论固定压强下过冷液体与固体的熵差时不必考虑压强参量的变化.以a态表示温度为的固态，b态表示在熔点的固态. b, a两态的摩尔熵差为（略去摩尔熵的下标不写）

（1）

以c态表示在熔点的液相，c，b两态的摩尔熵差为

（2）

以d态表示温度为的过冷液态，d，c两态的摩尔熵差为

（3）

熵是态函数，d，c两态的摩尔熵差为

（4）

物体的初温，高于热源的温度，有一热机在此物体与热源之间工作，直到将物体的温度降低到为止，若热机从物体吸取的热量为Q，试根据熵增加原理证明，此热机所能输出的最大功为

其中是物体的熵减少量。

解：以和分别表示物体、热机和热源在过程前后的熵变。由熵的相加性知，整个系统的熵变为

由于整个系统与外界是绝热的，熵增加原理要求

（1）

以分别表示物体在开始和终结状态的熵，则物体的熵变为

（2）

热机经历的是循环过程，经循环过程后热机回到初始状态，熵变为零，即

（3）

以表示热机从物体吸取的热量，表示热机在热源放出的热量，表示热机对外所做的功。 根据热力学第一定律，有

所以热源的熵变为

（4）

将式（2）—（4）代入式（1），即有

（5）

上式取等号时，热机输出的功最大，故

（6）

式（6）相应于所经历的过程是可逆过程。

有两个相同的物体，热容量为常数，初始温度同为。今令一制冷机在这两个物体间工作，使其中一个物体的温度降低到为止。假设物体维持在定压下，并且不发生相变。试根据熵增加原理证明，此过

程所需的最小功为

解： 制冷机在具有相同的初始温度的两个物体之间工作，将热量从物体2送到物体1,使物体2的温度降至为止。以表示物体1的终态温度，表示物体的定压热容量，则物体1吸取的热量为

（1）

物体2放出的热量为

（2）

经多次循环后，制冷机接受外界的功为

（3）

由此可知，对于给定的和，愈低所需外界的功愈小。

用和分别表示过程终了后物体1，物体2和制冷机的熵变。由熵的相加性和熵增加原理知，整个系统的熵变为

（4）

显然

因此熵增加原理要求

（5）

或

（6）

对于给定的和，最低的为

代入（3）式即有

（7）

式（7）相应于所经历的整个过程是可逆过程。

简单系统有两个独立参量。 如果以为独立参量，可以以纵坐标表示温度，横坐标表示熵，构成图。图中的一点与系统的一个平衡态相对应，一条曲线与一个可逆过程相对应。试在图中画出可逆卡诺

循环过程的曲线，并利用图求可逆卡诺循环的效率。

解： 可逆卡诺循环包含两个可逆等温过程和两个可逆绝热过程。 在

图上，等温线是平行于T轴的直线。 可逆绝热过程是等熵过程，因此在图上绝热线是平行于S轴的直线。 图1-5在图上画出了可逆卡诺循环的四条直线。

（一）等温膨胀过程

工作物质经等温膨胀过程（温度为）由状态Ⅰ到达状态Ⅱ。 由于工作物质在过程中吸收热量，熵由升为。吸收的热量为

（1）

等于直线ⅠⅡ下方的面积。

（二）绝热膨胀过程

工作物质由状态Ⅱ经绝热膨胀过程到达状态Ⅲ。过程中工作物质内能减少并对外做功，其温度由下降为，熵保持为不变。

（三）等温压缩过程

工作物质由状态Ⅲ经等温压缩过程（温度为）到达状态Ⅳ。工作物质在过程中放出热量，熵由变为，放出的热量为

（2）

等于直线ⅢⅣ下方的面积。

（四）绝热压缩过程

工作物质由状态Ⅳ经绝热压缩过程回到状态Ⅰ。温度由升为，熵保持为不变。

在循环过程中工作物质所做的功为

（3）

等于矩形ⅠⅡⅢⅣ所包围的面积。

可逆卡诺热机的效率为

（4）

上面的讨论显示，应用图计算（可逆）卡诺循环的效率是非常方便的。实际上图的应用不限于卡诺循环。根据式（1.14.4）

（5）

系统在可逆过程中吸收的热量由积分

（6）

给出。如果工作物质经历了如图中的（可逆）循环过程，则在过程

中工作物质吸收的热量等于面积，在过程中工作物质放出的热量等于面积，工作物质所做的功等于闭合曲线所包的面积。 由此可见（可逆）循环过程的热功转换效率可以直接从图中的面积读出。 在热工计算中图被广泛使用。

补充题1 1mol理想气体，在的恒温下体积发生膨胀，其压强由20准静态地降到1，求气体所作的功和所吸取的热量。

解：将气体的膨胀过程近似看作准静态过程。根据式（1.4.2），在准静态等温过程中气体体积由膨胀到，外界对气体所做的功为

气体所做的功是上式的负值，将题给数据代入，得

在等温过程中理想气体的内能不变，即

根据热力学第一定律（式（1.5.3）），气体在过程中吸收的热量为

补充题2 在下，压强在0至1000之间，测得水的体积为

如果保持温度不变，将1mol的水从1加压至1000，求外界所作的功。

解：将题中给出的体积与压强关系记为

（1）

由此易得

（2）