内容发布更新时间 : 2024/12/23 21:09:24星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
1．设函数f(x)＝xe，则( ) A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点 C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点 答案 D
解析 f′(x)＝e＋xe＝(1＋x)e.令f′(x)＝0，则x＝－1.当x<－1时，f′(x)<0，当x>－1时，f′(x)>0，所以x＝－1为f(x)的极小值点．
2．函数f(x)＝
xxxxax2
x＋1
(a>0)的单调递增区间是( )
B．(－1,1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
A．(－∞，－1) C．(1，＋∞) 答案 B
a1－x2a1－x1＋x解析 函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝＝.由于a>0，
x2＋12x2＋12
要使f′(x)>0，只需(1－x)·(1＋x)>0，解得x∈(－1,1)，故选B.
3．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为( ) A．1－e C．－e 答案 B
11－x解析 因为f′(x)＝－1＝，当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，e]时，f′(x)<0，
B．－1 D．0
xx所以f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x＝1时，f(x)取得最大值ln 1－1＝－1.
4．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 答案 D
解析 由题图，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．
1?1?2
5．若函数f(x)＝x＋ax＋在?，＋∞?是增函数，则a的取值范围为( )
x?2?A．
B．
D．函数f(x)＝
x(x－m)2在x＝1处取得极小值，则m＝________.
答案 1
解析 f′(1)＝0可得m＝1或m＝3.当m＝3时，f′(x)＝3(x－1)(x－3)，1＜x＜3时，
f′(x)＜0；x＜1或x＞3时，f′(x)＞0，此时x＝1处取得极大值，不合题意，所以m＝1.
7．已知函数f(x)＝kx＋3(k－1)x－k＋1(k＞0)的单调递减区间是(0,4)． (1)实数k的值为________；
(2)若在(0,4)上为减函数，则实数k的取值范围是__________． 1?1?答案 (1) (2)?0，?
3?3?
12
解析 (1)f′(x)＝3kx＋6(k－1)x，由题意知f′(4)＝0，解得k＝.
322
(2)由f′(x)＝3kx＋6(k－1)x≤0并结合导函数的图象可知，必有－11
解得k≤.又k＞0，故0＜k≤.
33
1312?2?8．若函数f(x)＝－x＋x＋2ax在?，＋∞?上存在单调递增区间，则a的取值范围
32?3?是________．
3
2
2
k－1
≥4，k?1?答案 ?－，＋∞? ?9?
?1?21?2?2
解析 对f(x)求导，得f′(x)＝－x＋x＋2a＝－?x－?＋＋2a.当x∈?，＋∞?时，
?2?4?3?
f′(x)的最大值为f′??＝＋2a.令＋2a>0，解得a>－.所以a的取值范围是
3
?2???
292919
?－1，＋∞?. ?9???
9．已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)． (1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围． 1
解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.
x若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)单调递增．
?1?若a＞0，则当x∈?0，?时，f′(x)＞0；
?
a?
?1??1??1?当x∈?，＋∞?时，f′(x)＜0.所以f(x)在?0，?单调递增，在?，＋∞?单调递减．
?a?
?
a?
?a?
1
(2)由(1)，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)无最大值；当a＞0时，f(x)在x＝取得最大a1?1??1?值，最大值为f??＝ln ＋a?1－?＝－ln a＋a－1.
?a?
a?a?
?1?因此f??＞2a－2等价于ln a＋a－1＜0.
a??
令g(a)＝ln a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)单调递增，g(1)＝0. 于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0；当a＞1时，g(a)＞0. 因此，a的取值范围是(0,1)． 10．已知函数f(x)＝(x－k)e. (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间上的最小值． 解 (1)由题意知f′(x)＝(x－k＋1)e. 令f′(x)＝0，得x＝k－1.
xxf(x)与f′(x)随x的变化情况如下：
x f′(x) f(x) (－∞，k－1) － k－1 0 －ek－1(k－1，＋∞) ＋ 所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．