内容发布更新时间 : 2025/2/23 11:43:17星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

一、特殊优先，一般在后

对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排。在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。

例1 0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？

解法一：(元素优先)分两类：第一类，含0，0在个位有A42种，0在十位有A21·A31种；第二类，不含0，有A21·A32种。

故共有(A42+A21A31)+A32A21=30。

注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。

解法二：(位置优先)分两类：第一类，0在个位有A42种；第二类，0不在个位，先从两个偶数中选一个放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有A21A31A31种。

故共有A42+A21A31A31=30。

练习1 （89年全国）由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 个（用数字作答）。

答案：36

二、排组混合，先选后排

对于排列与组合的混合问题，宜先用组合选取元素，再进行排列。

例2 (95年全国)4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒内，则恰有一个空盒的放法有几种？

解：由题意，必有一个盒内有2个球，同一盒内的球是组合，不同的球放入不同的盒子是排列。因此，有C42A43=144种放法。

练习2 由数字1，2，3，4，5，6，7组成有3个奇数字，2个偶数字的五位数，数字不重复的有多少个？

答案：有C43C32A55=1440（个）

三、元素相邻，整体处理

对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素进行自排。

例3 5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？

解：先把3个女生捆绑为一个整体再与其他5个男生全排列。同时，3个女生自身也应全排列。由乘法原理共有A66·A33种。

练习3 四对兄妹站一排，每对兄妹都相邻的站法有多少种？

答案：A44·24=384

四、元素间隔，分位插入

对于某些元素要求有间隔的排列，用插入法。

例4 5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？

解：先排无限制条件的男生，女生插在5个男生之间的4个空隙，由乘法原理共有A55A43种。

注意：①必须分清“谁插入谁”的问题。要先排无限制条件的元素，再插入必须间隔的元素；②数清可插的位置数；③插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握准。

练习4 4男4女站成一行，男女相间的站法有多少种？

答案：2A44·A44

例5 马路上有编号为1、2、3、?、9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？

解：由于问题中有6盏亮3盏暗，又两端不可暗，故可在6盏亮的5个间隙中插入3个暗的即可，有C53种。

练习5 从1、2、?、10这十个数中任选三个互不相邻的自然数，有几种不同的取法？

答案：C83。

五、元素定序，先排后除或选位不排或先定后插

对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其它元素进行排列。也可先放好定序的元素，再一一插入其它元素。

例6 5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？

解法一：先5人全排有A55种，由于全排中有甲、乙的全排种数A22，而这里只有1种

是符合要求的，故要除以定序元素的全排A22种，所以有A55/A22=60种。

解法二：先在5个位置中选2个位置放定序元素(甲、乙)有C52种，再排列其它3人有A33，由乘法原理得共有C52A33=60种。

解法三：先固定甲、乙，再插入另三个中的第一人有3种方法，接着插入第二人有4种方法，最后插入第三人有5种方法。由乘法原理得共有3×4×5=60种。

练习6 要编制一张演出节目单，6个舞蹈节目已排定顺序，要插入5个歌唱节目，则共有几种插入方法？

答案：A1111/A66或C116A55=C115A55或7×8×9×10×11种

六、“小团体”排列，先“团体”后整体

对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先按制约条件“组团”并视为一个元素再与其它元素排列。

例7 四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的出场顺序要求两名女歌手之间有两名男歌手，则出场方案有几种？

解：先从四名男歌手中选2人排入两女歌手之间进行“组团”有A42A22种，把这个“女男男女”小团体视为1人再与其余2男进行排列有A33种，由乘法原理，共有A42A22A33种。

练习7 6人站成一排，其中一小孩要站在爸妈之间的站法有多少种？

答案：A22·A44

七、不同元素进盒，先分堆再排列

对于不同的元素放入几个不同的盒内，当有的盒内有不小于2个元素时，不可分批进入，必须先分堆再排入。

例8 5个老师分配到3个班搞活动，每班至少一个，有几种不同的分法？

解：先把5位老师分3堆，有两类：3、1、1分布有C53种和1、2、2分布有C51C42C22/A22种，再排列到3个班里有A33种，故共有(C53+C51C42C22/A22)·A33。

注意：不同的老师不可分批进入同一个班，须一次到位(否则有重复计数)。即“同一盒内的元素必须一次进入”。

练习8 有6名同学，求下列情况下的分配方法数：

①分给数学组3人，物理组2人，化学组1人；