内容发布更新时间 : 2024/12/22 21:19:36星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

专题08 平面向量

高考侧重考查正、余弦定理与其他知识(如三角函数、平面向量等)的综合应用，试题一般为中档题，各种题型均有可能出现．

预测2018年高考仍将以正、余弦定理的综合应用为主要考点，重点考查计算能力及应用数学知识分析、解决问题的能力．

1．向量的基本概念

(1)既有大小又有方向的量叫做向量． (2)零向量的模为0，方向是任意的，记作0. (3)长度等于1的向量叫单位向量． (4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量．

(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量．零向量和任一向量平行． 2．共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 3．平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

4．两向量的夹角

→→

已知两个非零向量a和b，在平面上任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a与b的夹角．

5．向量的坐标表示及运算

(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)．

→

(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)． 6．平面向量共线的坐标表示 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a与b共线．

7．平面向量的数量积 设θ为a与b的夹角． (1)定义：a·b＝|a||b|cosθ. (2)投影：

a·b＝|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影． |b|

8．数量积的性质 (1)a⊥b?a·b＝0；

(2)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|；特别地，

a·a＝|a|2；

(3)|a·b|≤|a|·|b|； (4)cosθ＝

a·b. |a|·|b|

9．数量积的坐标表示、模、夹角 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) (1)a·b＝x1x2＋y1y2； (2)|a|＝x1＋y1； (3)a⊥b?x1x2＋y1y2＝0； (4)cosθ＝

2

2

x1x2＋y1y2

. 22

x2x21＋y1·2＋y2

【误区警示】

1．两向量夹角的范围是[0，π]，a·b>0与〈a，b〉为锐角不等价；a·b<0与〈a，b〉为钝角不等价．

2．点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别． 3．a在b方向上的投影为a·ba·b，而不是. |b||a|

4．若a与b都是非零向量，则λa＋μb＝0?a与b共线，若a与b不共线，则λa＋μb＝0?λ＝μ＝0.

考点一 平面向量的概念及运算

例1． 【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .

【答案】23

2

所以|a?2b|?12?23.

【变式探究】(2016·高考全国甲卷)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.

解析：基本法：∵a∥b，∴a＝λb 即(m,4)＝λ(3，－2)＝(3λ，－2λ)

??m＝3λ，∴?

?4＝－2λ，?

故m＝－6.

速解法：根据向量平行的坐标运算求解： ∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b ∴m×(－2)－4×3＝0 ∴－2m－12＝0，∴m＝－6. 答案：－6

→→

【变式探究】(1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝( ) A．(－7，－4) B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4)

答案：A

【举一反三】向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”；平行四边形法则要保证两向量“共起点”，结合几何法、代数法(坐标)求解．

→→

(2)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB＋FC＝( )

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