内容发布更新时间 : 2024/11/15 18:30:06星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

知识

1．空间向量的定义

在空间中，我们把具有_____和_____的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．

2．空间向量的表示方法

（1）几何表示：空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的_____．

（2）符号表示：空间向量可用一个字母表示，如向量a，也可用有向线段的起点、终点的字母表示，如图所示，可用表示向量a的有向线段的起点A和终点B表示为AB，向量的模记为|a| 或|AB|．

3．几个特殊的空间向量

零向量 单位向量 相反向量 相等向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 模为1的向量称为单位向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为?a 方向相同且_____的向量称为相等向量 4．空间向量的加法和减法运算

b，已知空间向量a，可以把它们平移到同一个平面?内，以任意点O为起点，作向量OA?a，OB?b，如图1所示．

类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算(如图2所示)：

OB?OA?AB?______，CA?OA?OC?______．

图1 图2

5．空间向量的加法运算律

（1）交换律：a?b?______； （2）结合律：(a?b)?c?a?(b?c)． 用图1、图2来验证空间向量的加法运算律如下：

图1 图2

以上运算律对于多个空间向量的加法也是成立的．

6．空间向量的数乘运算

（1）定义：与平面向量一样，实数?与空间向量a的乘积?a仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． （2）向量?a与a的关系：如图，当??0时，?a与向量a的______；当??0时，?a与向量a的______．?a的长度是向量a的长度的?倍．

（3）空间向量的数乘运算律：①分配律：?(a?b)??a+?b；②结合律：?(?a)?(??)a．

7．共线向量

（1）定义

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相_______，则这些向量叫做共线向量或平行向量． （2）向量共线的充要条件（即共线向量定理）

对于空间任意两个向量a，b(b?0)，a∥b的充要条件是存在实数?，使_______． （3）共线向量定理的推论

如图所示，l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP?OA?ta ①，其中向量a叫做直线l的方向向量． 若在l上取AB?a，则①式可以化为OP?OA?tAB?(1?t)OA?tOB ②．

①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定．

注：共线向量定理及其推论可用来证明直线平行和空间三点共线．

8．共面向量

（1）定义

平行于_______的向量，叫做共面向量．

（2）三个向量共面的充要条件（即共面向量定理）

如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p?_______．

（3）共面向量定理的推论

如图，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使AP?xAB?yAC；或对空

间任意一点O，有OP?OA?xAB?yAC ③．③式称为空间平面ABC的向量表示式．由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．

三点共线的充要条件

由共线向量定理的推论，我们可以得到空间三点共线的充要条件为OP??OA??OB，且???=1.此结论经常使用.