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数项级数和函数项级数及其收敛性的判定

学院名称： 数学与信息科学学院 专业名称： 数学与应用数学 年级班别： 姓 名： 指导教师：

2012年5月

数项级数和函数项级数及其收敛性的判定

摘要 本文主要对数项级数中的正项级数与函数项级数收敛性判定进行研究，总结了正项级数和函数项级数一致收敛的部分判别法，并且介绍两种特别判别法：导数判别法和对数判别法。

关键词：数项级数；正项级数；函数项级数；一致收敛性；导数判别法；对数判别法.

Several series and Function of series and the judgment of their

convergence

Abstract In this paper, the author mainly discusses two series: Several series of positive series and Function of series. Summarizing the positive series and function of the part of the uniform convergence series discriminant method .And it presents two special discriminant method: derivative discriminant method and logarithmic discriminant method.

Keywords Several series; Positive series; Function of series; uniform convergence; derivative discriminant method; logarithmic discriminant method

前 言

在数学分析中,数项级数和函数级数是全部级数理论的基础,而且数项级数中的正项级数和函数级数是基本的,同时也是十分重要的两类级数。判别正项级数和函数级数的敛散性是研究级数的主要问题,并且在实际中的应用也比较广泛，如正项级数的求和问题等。所以探讨正项级数和函数级数敛散性的判别法对于研究级数以及对于整个数学分析的学习与理解都有重要的作用。

1 正项级数及其收敛性

一系列无穷多个数u1,u2,u3,

,un,写成和式

un?u1?u2?u3??

就称为无穷级数，记为?un。如果un?0,?n?1,2,3,n?1?，那么无穷级数?un,就称为正项

n?1?级数。

2

若级数?un的部分和数列?Sn?收敛于有限值S，即

n?1? 则称级数?un收敛，记为

n?1?limSn?lim?uk?S,n??n??k?1n

n?1?u?n?S,

?并称此值S为级数的和数。若部分和数列Sn发散，则称级数?un发散。当级数收敛时，

n?1又称

rn?S?Sn?

k?n?1?u?k?un?1?un?2?un?3?

为级数的余和。 1.1 几种不同的判别法

1.11 正项级数收敛的充要条件 部分和数列?Sn?有界，即存在某正数M，有例1 ?

an

n=1(1+a1)(1+a2)…(1+an)?分析：本题无法使用根式判别法、比式判别法，或比较判别法以及其他的判别法进行判断，因此选用充要条件进行判断。

所以级数收敛.

定理1.12 柯西收敛原理[1]

级数?un收敛的充要条件是：对任意给定的正数?，总存在N，使得当n?N时，对于任

n?1?意的正整数p?1,2,3,，都成立的

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