内容发布更新时间 : 2024/9/21 0:46:26星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第5讲立体几何

内容概述

掌握长方体、立方体、圆柱、圆锥的体积和表面积计算公式；学会计算由基本立体固形通过切割、拼接而构成的复杂立体固形的体积和表面积；掌握平面固形通过折叠、旋转所得立体图形的相关计算．

典型问题

兴趣篇

1．一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、2厘米、1厘米．若它的棱长总和等于另一个正方体的棱长总和，则长方体与正方体的表面积之比是多少？长方体体积比正方体体积少多少立方厘米？

2．如图5-1所示，将长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米？如果四角去掉边长为3厘米的正方形呢？

3．用棱长是l厘米的小立方体拼成如图5-2所示的立体图形，这个图形的表面积是多少平方厘米？

4．(1)如图5-3所示，将一个棱长为6的正方体从某个角切掉一个长、宽、高分别为4、3、5的长方体，剩余部分的表面积是多少？

(2)如图5-4所示，将一个棱长为5的正方体，从左上方切去一个长、宽、高分别为5、4、3的长方体，它的表面积减少了百分之几？

5．如图5-5所示，有一个棱长为2厘米的正方体，从正方体的上面正中向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长为法与前两个相同，棱长为

1厘米的小洞；第三个小洞的挖21厘米，最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？ 4 6．（1)如图5-6，将4块棱长为1的正方体木块排成一排，拼成一个长方体．那么拼合后这个长方体的表面积，比原来4个正方体的表面积之和少了多少？

(2)一个正方体形状的木块，棱长为1，如图5-7所示，将其切成两个长方体，这两部分的表面积总和是多少？如果在此基础上再切4刀（如图5-8所示），将其切成大大小小共18块长方体，这18块长方体表面积总和又是多少？

7．如图5-9所示，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米．请问：圆锥体积与圆柱体积的比是多少？

8．如图5-10所示，一块三层蛋糕，由三个高都为1分米，底面半径分别为1.5分米、1分米和

0.5分米的圆柱体组成．请问：

(1)这个蛋糕的表面积是多少平方分米？（л取3.14）

(2)如果沿经过中轴线AB的平面切一刀，将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积之和又是多少？

9．有大、中、小三个立方体水池，它们的内部棱长分别是6米、3米、2米，三个池子都装了半池水．现将两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面会升高多少厘米？（结果精确到小数点后两位）

10.有一个高24厘米，底面半径为10厘米的圆柱形容器，里面装了一半水，现有一根长30厘米，底面半径为2厘米的圆柱体木棒．将木棒竖直放入容器中，使棒的底面与容器的底面接触，这时水面升高了多少厘米？

拓展篇

1．如图5-11，将三个表面积分别为54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的铁质正方体熔铸成一个大正方体（不计损耗）．求这个大正方体的体积．

2．一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米，求这个长方体的表面积．

3．如图5-12所示，有30个棱长为1米的正方体堆成一个四层的立体图形．请问：这个立体图形的表面积等于多少？

4．如图5-13所示，将一个棱长为10的正方体从顶点A切掉一个棱长为4的正方体，得到如图5-14所示的立体图形，这个立体图形的表面积是多少？如果再从顶点B切掉一个棱长为6的正方体，那么剩下的立体图形的表面积又是多少？

5．一个正方体被切成24个大小形状一模一样的小长方体（如图5-15所示），这些小长方体的表面积之和为162平方厘米．请问：原正方体的体积是多少？

6．图5-16是一个棱长为4厘米的正方体，分别在前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖去一个棱长1厘米的小正方体，做成一种玩具．该玩具的表面积是多少平方厘米？如果把这些洞都打穿，表面积又变成了多少？

7．一个无盖木盒从外面量时，其长、宽、高分别为10厘米、8厘米、5厘米，已知木板厚1厘米，那么做一个木盒，需要这样的木板多少平方厘米？这个木盒的容积又是多少？

8．有一根长为20厘米，直径为6厘米的圆钢，在它的两端各钻一个4厘米深，底面直径也为6厘米的圆锥形的孔，做成一个零件（如图5-17所示）．这个零件的体积为多少立方厘米？（л取3.14）

9．现有一块长、宽、高分别为10厘米、8厘米、6厘米的长方体木块，把它切成体积尽可能大

且底面在长方体表面上的圆柱体木块，这个圆柱体木块的体积为多少？（л取3）

10.张大爷去年用长2米、宽l米的长方形苇席围成了一个容积最大的圆柱体粮囤，今年他改用长3米、宽2米的长方形苇席来围，也同样围成容积最大的圆柱体粮囤，请问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍？

11.左边正方形的边长为4，右边正方形对角线长度为6．如果按照图5-18中所示的方式旋转，那么得到的两个旋转体的体积之比是多少？

12.如图5-19一个底面长30分米，宽10分米，高12分米的长方体水池，存有四分之三池水，请问：

(1)将一个高1 1分米，体积330立方分米的圆柱放入池中，水面的高度变为多少分米？ (2)如果再放人一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？ (3)如果再放人一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？

超越篇

1．有一个棱长为20的大立方体，在它的每个角上按如图5 -20所示的方式各做一个小立方体，于是得到8个小立方体．在这些立方体中，上面4个的棱长为12，下面4个的棱长为13.请问：所有这8个小立方体公共部分的体积是多少？

2．地上有一堆小立方体，从上面看时如图5-21所示，从前面看时如图5-22所示，从左边看时如图5-23所示．这一堆立方体一共有几个？如果每个小立方体的棱长为1厘米，那么这堆立方体所堆成的立体图形表面积为多少平方厘米？

3．(1)已知一个圆锥的底面直径为6厘米，高为4厘米．求它的体积和表面积；（答案用兀表示） (2)用一个半径为25厘米，圆心角为345.6°的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的体积是多少？如果圆心角是216°呢？（答案用丌表示）

4．将图5 -24、图5-25中的平面图形分别折叠成一个四棱锥和三棱柱，这两个立体图形的体积分别是多少？（图5 -24正中央是一个面积为18平方厘米的正方形，每边上分别有一个腰长为5厘米的等腰三角形；图5-25中的图形由三个长方形和两个直角三角形组成．）

5．一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，如图5-26圆柱体的底面直径和高都是12厘米，其内有一些水，正放时水面离容器顶11厘米，倒放时，水面离顶部5厘米．请问：这个容器的容积是多少立方厘米？（兀取3.14）

6．有一个长方体水池，底面为边长60厘米的正方形，里面插着一根长1米的木桩，木桩的底面是一个边长15厘米的正方形，木桩有一部分浸在水中，一部分露出水面．现在将木桩提起来24厘米（仍有部分浸在水里），那么露出水面的木桩浸湿部分面积为多少平方厘米？

7．图5 -27是一个有底无盖的容器的平面展开图，其中①是边长为18厘米的正方形，②③④⑤是同样大的等腰直角三角形，⑥⑦⑧⑨是同样大的等边三角形．那么，这个容器的容积是多少毫升？