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2017--20 18 学年第 二 学期考试试卷(A)

试卷名称： 高等数学B 课程所在院系： 理学院

考试班级 学号 姓名 成绩 一、填空：（每小题3分，共30分） 1.

(x,y)?(2,0)yxlimsin(xy)= 2 xy?1?1y1x2. 设z?e，则dz?2e(?ydx?xdy).

x3 设曲线的参数方程是x?t2,y?arctant,z?t4，则曲线在点(1,?4,1)处的切线方程是

x?1?2y??4?z?1. 1424. 若曲面x2?2y2?3z2?21的切平面平行于平面x?4y?6z?25?0，则切点坐标为

(1,?2,2),(?1,2,?2).

5. 设f(x,y)?x4?y4?x2?2xy?y2，已知点P(1,1)是函数的驻点，在横线处填上f(x,y)在点P处取得的是极大值，还是极小值，还是不取极值_______极小值

6. 若D是以(0,0),(0,1),(1,0)为顶点的三角形区域，由二重积分的几何意义知

??(1?x?y)dxdy?D1. 67．设一阶非齐次线性微分方程y??P(x)y?Q(x)有两个线性无关的解y1,y2，若?y1??y2也是该方程的解，则应有???? 1 .

8．微分方程y????sinx的通解是y?cosx?C1x2?C2x?C3. 9．3eydx?dy?0的通解为3e??lny?C. 10. 若级数

xx?(un?1?n?1)收敛，则limun? 1 . n??二、选择题：（每小题2分，共10分） 1. 下列级数中收敛的是（ C ）

???4n?8n4n?8n4n?2n2n?4nA. ? B. ? C.? D.? nnnn8888n?1n?1n?1n?12222. 方程x?y?z?0表示的二次曲面是( C ).

?A. 球面 B. 旋转抛物面 C. 圆锥面 D. 圆柱面 3. 二次积分A.

?dx?02x20f(x,y)dy写成另一种次序的积分是( A ).

4y00?40dy?2yf(x,y)dx B. ?dy?f(x,y)dx

1

C.

?40dy?2f(x,y)dx D. ?dy?x24y02f(x,y)dx

4. 已知二元函数z?f(x,y)在点(x,y)处可微分，则在点(x,y)处不一定成立的是( D ). A. 该函数在点(x,y)处连续 B. 该函数在点(x,y)处的极限存在 C.该函数在点(x,y)处的两个偏导数5.

设平面区域

?z?z存在 D. 该函数在点(x,y)处的偏导数连续 ,?x?y?xa,?xD1??y{(xa,y)?|?x0D?{(x,y?)|?aa?x,，?y则a}??(x?ycoxssyi?（nd A x）d yDA. 2??cosxsinydxdy B. 2??xydxdy C. 4??(xy?cosxsiny)dxdy D. 0

D1D1D1三、（6分） 若 z?ex2?y2?z2确定z?z(x,y)，求

?z?x 和 ?z?y. 解 因

?z?x????2z?z?2?y2?z2?x?，?z?y???z?222?2x?ex??2y?2z?y??ex?y?z （3分）

?z2xex2?y2?z2?z2yex2?y2?z2故?x?1?2zex2?y2?z2，?y?1?2zex2?y2?z2 （6分） 四、（6分）设u??[x??(y)],其中?,?二阶可导,证明?u?2u?u?2u?x??x?y??y??x2.

证明： 因为 ?u?x???, ?u?y?????(y) （3分） ?2u????2u????x?y??y??????(y), ?x2??x????（5分）

?u?2故 u?u?2u?x??x?y????????(y)??y??x2 （6分）

五、（6分）求

??xyd?，其中D是由直线y?1,x?2,y?x所围区域.

D解： D:??1?y?x?1?x?2，（ 3分）

故

??xyd???2?xxydy?dx?2xdxxydy?2x?1D1???1???1?1?12y2x1dx?122?1?x3?x?dx?98 （6分） ?六、（6分）问

?(?1)n?1a?n?1???cosn??是否收敛？若收敛，是否绝对收敛？ 解： 收敛，且绝对收敛 （3分）

事实上，因(?1)n(1?cosan)?1?cosan?2sin2aa22n?2n2， （5分） ?而?a2?收敛，故由比较判别法知，n?12n?(?1)n?n?1??1?cosa?2n??收敛.

?从而?(?1)n??1?cosa??收敛，而且绝对收敛. （6分） n?1?n?

2

n2?1n七、（7分）求幂级数x的收敛域与和函数.

nn?1a ? 收敛域为(-1,1) （5分） 解：因为：lim|n?1|?1 ,x??1时级数发散，n??an???x??n2?1n?n?1n?x?n?1??x＝?nx??x＝x???nxdx?????xn?1?dx ?0nn?1n?1n?1n?0n?1??n?1???x1x?x??x??dx??ln(1?x),(?1?x?1) （7分） ??01?x(1?x)2?1?x?

八、（6分）将f(x)?解：

?1展开为(x?1)的幂级数. 6?5xf(x)? 11? （2分） 6?5x1?5(x?1)?46??[5(x?1)]??5n(x?1)n (?x?) （6分）

55n?0n?0n

?y2?2z九、（6分）设?是由曲线?绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z?4所围成的闭区域，求三重积分

x?0?I????(x2?y2?z)dv.

??y2?2z解： 曲线?绕z轴旋转一周而成的曲面方程为x2?y2?2z，故?在xoy面上的投影为

?x?0（2分） Dxy:x2?y2?8，

所以 I?2???(r?z)rdrd?dz??d??dr?12(r?z)rdz??002r22?84256? （6分） 3十、（6分） 设y???4y??3y?x2e?3x

（1）求出该方程所对应的齐次方程的通解

（2）写出该非齐次方程的特解y（仅设出y，不必求出y） 解：（1） 特征方程为r?4r?3?0

特征根为r1??1,r2??3

故求出所对应的齐次方程的通解为y?C1e?x?C2e?3x （4分）

（2）y???4y??3y?xe的特解为y?x(ax?bx?c)e

十一、（7分）设函数f(x)在[0,??)上连续，且满足方程

2?3x*2?3x2*** （6分）

f(t)?e? t?22x?y2?t2??f(x2?y2)dxdy 试求f(t).

t解：

f(t)?e? t2??d??f(?)?d?

002? 3