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考点50 离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差

一、选择题

1. （2013·广东高考理科·Ｔ4）已知离散型随机变量X的分布列为

X p 则X的数学期望E（x）=（ ） A.

1 2 3 3 53 101 103 2B. 2 C.

5 D 3 2【解题指南】本题考查离散型随机变量的期望公式，可以直接代入计算. 【解析】选A. E(x)?1?331153?2??3???. 510101022. （2013·湖北高考理科·Ｔ9）如图，将一个各面都凃了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均E(X)=（ ）

A.

12661687 B. C. D 12551255836542472546; p?2??;p?1??;E(X)=???. 125125125125121255【解题指南】先求分布列，再求E(X)。 【解析】选B. p?3??二、填空题

3.（2013·上海高考理科·T10）设非零常数d是等差数列x1,x2,x3,能地取值x1,x2,x3,,x19的公差，随机变量?等可

,x19，则方差D??_______

?12?02?12??92)?30d2．

d222【解析】E??x10，D??(9?8?19【答案】30d.

24.（2013·上海高考文科·T6）某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别是75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 . 【解析】 平均成绩?

4060?75??80?78 1001001

【答案】 78. 三、解答题

5. （2013·四川高考理科·Ｔ18） 某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生．

(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i=1,2,3)；

(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出

y的值为i(i=1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．

甲的频数统计表(部分)

运行 输出y的值 输出y的值 输出y的值 次数n 为1的频数 为2的频数 为3的频数 30 … 2 100 14 … 1 027 6 … 376 10 … 697 乙的频数统计表(部分)

运行 次数n 30 … 2 100 输出y的值 输出y的值 输出y的值 为1的频数 为2的频数 为3的频数 12 … 1 051 11 … 696 7 … 353 当n=2100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.

(Ⅲ)将按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望.

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【解题指南】求解本题的关键是理解题意,并且弄清框图的功能,找到随机变量可能的取值,列出分布列再求数学期望.

【解析】(Ⅰ)变量x是在1,2,3,…,24这24个整数中随机产生的一个数,共有24种可能.

1

当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出的y=1,故P1=;

21

当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出的y=2,故P2=;

31

当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出的y=3,故P3=.

6

111

所以输出y的值为1的概率是,输出y的值为2的概率是,输出y的值为3的概率是. 236(Ⅱ) 当n=2100时,甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下:

甲 乙 输出y的值为1的频率 1027 21001051 2100输出y的值为2的频率 376 2100696 2100输出y的值为1的频率 697 2100353 2100比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大. (Ⅲ)随机变量?的所有可能取值为0,1,2,3.

P(?=0)=C30()0()3=

131313

232323

13238, 274929

P(?=1)=C31()1()2=, P(?=2)=C32()2()1=, P(?=3)=C33()3()0=

故?的分布列为

1. 27

? P 所以,E?=0?

0 8 271 4 92 2 93 1 278421

+1?+2?+3?=1,即?的数学期望为1. 279927

6. （2013·四川高考文科·Ｔ18） 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在

1,2,3,???,24这24个整数中等可能随机产生。

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（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P； i(i?1,2,3)(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为i(i=1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．

甲的频数统计表(部分)

运行 输出y的值 输出y的值 输出y的值 次数n 为1的频数 为2的频数 为3的频数 30 … 2 100 14 … 1 027 6 … 376 10 … 697 乙的频数统计表(部分)

运行 输出y的值 输出y的值 输出y的值 次数n 为1的频数 为2的频数 为3的频数 30 … 2 100 12 … 1 051 11 … 696 7 … 353 当n?2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i?1,2,3)的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大。

【解题指南】求解本题的关键是证明理解题意，并且弄清框图的功能，在第(Ⅱ)问中应比较频率的趋势与概率进行判断.

【解析】(Ⅰ)变量x是在1,2,3,…,24这24个整数中随机产生的一个数,共有24种可能. 1当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y的值为1,故P1=;

21

当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y的值为2,故P2=;

31

当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y的值为3,故P3=.

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111

所以输出y的值为1的概率是,输出y的值为2的概率是,输出y的值为3的概率是. 236(Ⅱ) 当n=2100时,甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下:

输出y的值为1的频率 1027 21001051 2100输出y的值为2的频率 376 2100696 2100输出y的值为1的频率 697 2100353 2100甲 乙 比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大.

7.(2013·天津高考理科·T16)一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同). (1)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率.

(2)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望. 【解题指南】(1)根据组合数原理求出符合条件的取法及总取法,再求概率. (2)根据随机变量X所有可能取值列出分布列,求数学期望.

【解析】(1)设“取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片”为事件A,则

1322C2C5?C2C56P(A)??. 4C77所以，取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率为(2)设随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.

6. 73333C3C5C6C41424P(X?1)?4?,P(X?2)?4?,P(X?3)?4?,P(X?4)?4?,

C735C735C77C77所以随机变量X的分布列是

X P 随机变量X的分布列和数学期望1?1 1 352 4 353 2 74 4 7142417?2??3??4??. 35357758.(2013·浙江高考理科·T19)设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.

(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列.

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