内容发布更新时间 : 2024/12/23 10:40:22星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第3讲 平面向量与复数
专题强化训练
-
1.(2019·绍兴诸暨高考二模)已知复数z满足z(1+i)=2i,则z的共轭复数z等于( )
A.1+i C.-1+i
B.1-i D.-1-i
2i2i(1-i)
解析:选B.由z(1+i)=2i,得z===1+i,
1+i(1+i)(1-i)-
则z的共轭复数z=1-i.故选B.
→→→
2.在等腰梯形ABCD中,AB=-2CD,M为BC的中点,则AM=( ) 1→1→A.AB+AD 223→1→C.AB+AD 44
3→1→
B.AB+AD 421→3→D.AB+AD 24
→→→→
解析:选B.因为AB=-2CD,所以AB=2DC.又M是BC的中点,
→1→→1→→→1→→1→3→1→
所以AM=(AB+AC)=(AB+AD+DC)=(AB+AD+AB)=AB+AD,故选B.
222242
3.(2019·嘉兴一中高考模拟)复数z满足z·(2-i)=3-4i(其中i为虚数单位),则复数||=( )
i
A.25
355
3
B.2
zC.D.5
解析:选D.复数z满足z·(2-i)=3-4i(其中i为虚数单位),所以z·(2-i)(2+i)
z?2-i??-i(2-i)?
=(3-4i)(2+i),化为:5z=10-5i,可得z=2-i.则复数||=??=??=
i?i??-i·i?
|-1-2i|=|1+2i|=1+2=5.故选D.
→→
4.在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别为BC和DC的中点,则DE·BF=( )
5A.-
2C.-4
3B.
2D.-2
2
2
解析:选C.通过建系求点的坐标,然后求解向量的数量积.在边长为2的正方形ABCD中,
E,F分别为BC和DC的中点,以A为坐标原点,AB,AD为坐标轴,建立平面直角坐标系,则B(2,0),D(0,2),E(2,1),F(1,2).所以DE=(2,-1),BF=(-1,2),所以DE·BF=
-4.
5.(2019·台州市书生中学检测)已知点O是△ABC的外接圆圆心,且AB=3,AC=4.若→→→
存在非零实数x、y,使得AO=xAB+yAC,且x+2y=1,则cos∠BAC的值为( )
2A. 3C.2 3
B.3 3→
→
→
→
1D. 3
→→→→→
解析:选A.设线段AC的中点为点D,则直线OD⊥AC.因为AO=xAB+yAC,所以AO=xAB+→
2yAD.又因为x+2y=1,所以点O、B、D三点共线,即点B在线段AC的中垂线上,则AB=BC3+4-32
=3.在△ABC中,由余弦定理得,cos∠BAC==.故选A.
2×3×43
π→→→
6.在△ABC中,AB=3,BC=2,∠A=,如果不等式|BA-tBC|≥|AC|恒成立,则实
2数t的取值范围是( )
A.[1,+∞)
1??C.?-∞,?∪[1,+∞) 2??
2
2
2
?1?B.?,1?
?2?
D.(-∞,0]∪[1,+∞)
3→→→
,由|BA-tBC|≥|AC|,得212
解析:选C.在直角三角形ABC中,易知AC=1,cos∠ABC=→2
→→
→
→
BA-2tBA·BC+t2BC2≥AC2,即2t2-3t+1≥0,解得t≥1或t≤.
7.称d(a,b)=|a-b|为两个向量a,b间的“距离”.若向量a,b满足:①|b|=1;②a≠b;③对任意的t∈R,恒有d(a,tb)≥d(a,b),则( )
A.a⊥b C.a⊥(a-b)
B.b⊥(a-b) D.(a+b)⊥(a-b)
解析:选B.由于d(a,b)=|a-b|,因此对任意的t∈R,恒有d(a,tb)≥d(a,b),即|a-tb|≥|a-b|,即(a-tb)≥(a-b),t-2ta·b+(2a·b-1)≥0对任意的t∈R都成立,因此有(-2a·b)-4(2a·b-1)≤0,即(a·b-1)≤0,得a·b-1=0,故a·b-b=b·(a-b)=0,故b⊥(a-b).
??a,a≥b8.(2019·温州市高考模拟)记max{a,b}=?,已知向量a,b,c 满足|a|=1,
?b,a<b?
2
2
2
2
2
2
|b|=2,a·b=0,c=λa+μb(λ,μ≥0,且λ+μ=1,则当max{c·a,c·b}取最小值
时,|c|=( )
A.25
5
B.D.22
35 2
C.1
解析:选A.如图,
→
设OA=a,OB=b,则a=(1,0),b=(0,2), 因为λ,μ≥0,λ+μ=1,所以0≤λ≤1. 又c=λa+μb,
所以c·a=(λa+b-λb)·a=λ;
c·b=(λa+b-λb)·b=4-4λ.
4
由λ=4-4λ,得λ=.
5
4
λ,≤λ≤1??5
所以max{c·a,c·b}=?.
4
??4-4λ,0≤λ<5
??
令f(λ)=?.
4
??4-4λ,0≤λ<5
λ,≤λ≤1
4
5
?4?则f(λ)∈?,1?. ?5?
441
所以f(λ)min=,此时λ=,μ=,
55541?42?
所以c=a+b=?,?.
55?55?所以|c|=
?4?+?2?=25.故选A.
?5??5?5????
2
2
2
22
9.(2019·绍兴市柯桥区高三期中检测)已知平面向量a,b,c满足|a|=4,|b|=3,|c|=2,b·c=3,则(a-b)(a-c)-[(a-b)·(a-c)]的最大值为( )
A.43+37 C.(43+37)
2
B.47+33 D.(47+33)
2
→→→
解析:选D.设OA=a,OB=b,OC=c,a-b与a-c所成夹角为θ, 则(a-b)(a-c)-[(a-b)·(a-c)] =|AB||AC|-|AB||AC|cosθ
2
2
2
2
2
2
2
2
=|AB||AC|sinθ=|AB||AC|sin∠CAB=4S△ABC, 因为|b|=3,|c|=2,b·c=3,所以b,c的夹角为60°, 设B(3,0),C(1,3),则|BC|=7,
133
所以S△OBC=×3×2×sin 60°=,设O到BC的距离为h,
22133
则·BC·h=S△OBC=, 22321所以h=,
7
因为|a|=4,所以A点落在以O为圆心,以4为半径的圆上, 321
所以A到BC的距离最大值为4+h=4+.
7所以S△ABC的最大值为 1?321?×7×?4+? 27??=27+
33
, 2
2
2
2
2222222
33?2?2
所以(a-b)(a-c)-[(a-b)·(a-c)]最大值为4?27+?=(47+33).故选
2??D.
10.(2019·金华市东阳二中高三月考)若a,b是两个非零向量,且|a|=|b|=λ|a+b|,
λ∈?
?3?
,1?,则b与a-b的夹角的取值范围是( ) ?3?
A.?C.?
?π,2π?
?
?33??2π,π?
?
?3?
B.?D.?
?2π,5π?
6??3??5π,π? ?
?6?
解析:选B.因为|a|=|b|=λ|a+b|,λ∈?不妨设|a+b|=1,则|a|=|b|=λ.
?3?,1?, ?3?
→→
令OA=a,OB=b,以OA、OB为邻边作平行四边形OACB,
π
则平行四边形OACB为菱形.故有△OAB为等腰三角形,故有∠OAB=∠OBA=θ,且0<θ<.
2→→
而由题意可得,b与a-b的夹角,即OB与BA的夹角,等于π-θ,△OAC中,由余弦定理可得|OC|=1=|OA|+|AC|-2|OA|·|AC|·cos 2θ=λ+λ-2·λ·λcos 2θ,解得cos
2
2
2
2
2
1311311π2π
2θ=1-2.再由≤λ≤1,可得≤2θ≤,所以≤2θ≤,2≤,所以-≤cos
2λ322λ22233ππ2π5π?2π5π?所以≤θ≤,故≤π-θ≤,即b与a-b的夹角π-θ的取值范围是?,?.
6?6336?3
1+ai
11.(2019·杭州市高考二模)已知复数z=(a∈R)的实部为1,则a=________,|z|
i=________.
1+ai(1+ai)(-i)
解析:因为z===a-i的实部为1, 2
i-i所以a=1,则z=1-i,|z|=2. 答案:1
2
12.(2019·嘉兴一中高考适应性考试)设e1,e2为单位向量,其中a=2e1+e2,b=e2,且
a在b上的投影为2,则a·b=________,e1与e2的夹角为________.
解析:设e1,e2的夹角为θ,因为a在b上的投影为2, 所以
a·b(2e1+e2)·e21
==2e1·e2+|e2|2=2|e1|·|e2|cos θ+1=2,解得cos θ=,|b||e2|2
π2
则θ=.a·b=(2e1+e2)·e2=2e1·e2+|e2|=2|e1|·|e2|cos θ+1=2.
3
答案:2
π 3
13.已知向量a,b,|a|=1,|b|=2.若对任意单位向量e,均有|a·e|+|b·e|≤6,则a·b的最大值是________.
解析:由题意,令e=(1,0),a=(cos α,sin α),b=(2cos β,2sin β),则由|a·e|+|b·e|≤6,可得|cos α|+2|cos β|≤6.①令sin α+2sin β=m,②
①+②得4[|cos αcos β|+sin αsin β]≤1+m对一切实数α,β恒成立,所以4[|cos αcos β|+sin αsin β]≤1,
1故a·b=2(cos αcos β+sin αsin β)≤2[|cos αcos β|+sin αsin β]≤.
21答案: 2
→
14.(2019·温州市十五校联合体联考)已知坐标平面上的凸四边形ABCD满足AC=(1,→→→
3),BD=(-3,1),则凸四边形ABCD的面积为________;AB·CD的取值范围是________. →→→→→→
解析:由AC=(1,3),BD=(-3,1)得AC⊥BD,且|AC|=2,|BD|=2,所以凸四边形
2
2
2
ABCD的面积为×2×2=2;因为ABCD为凸四边形,所以AC与BD交于四边形内一点,记为M,
12