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S F 01（数）

Ch 3 函数极限

计划课时： 1 4 时

P 21—30

2001．09．02．

Ch 3 函数极限

§ 1 函数极限概念 （ 4时 ）

一． x??时函数的极限：

1f(x)?x???以时和g(x)?arctgx为例引入.

x介绍符号: x???, x???, x??的意义, limf(x)?A的直观意义.

f(x)?A, limf(x)?A 和 limf(x)?A . ) 定义 ( xlim???x???x??几何意义 介绍邻域 ?(??)?{x x?M }, ?(??)?{x x??M },

?(?)?{x x ?M}. 其中为充分大的正数．然后用这些邻域语言介绍几何意义．

例1 验证lim1?0. x??x例2 验证limarctgx?x????2.

2x2?x例3 验证lim2?2.

x??x?22x2?xx?4x?3 x ?4x?42 x 4证 ?2 ? ? ? ?.…… 2222 x x?2x?2 x ?2x2 二． x?x0时函数f(x)的极限：

?2x?1, x?2,f(x)?由 考虑x?2时的极限引入. ? x?2.?0, 定义 函数极限的“???”定义.

几何意义.

用定义验证函数极限的基本思路. 例4 验证 limC?C.

x?x0 例5 验证 limx?x0.

x?x0x3?3x2?3x?912?. 例6 验证 lim2x?352x?7x?3x3?3x2?3x?912(x2?3) (x?3)12? ? ? = 证 由x?3, 5(2x?1) (x?3)52x2?7x?35x?9x?35x?9x?3x2?312? ??. 2x?1552x?12x?1, 需有 x?3?1; 为使 5x?9?5x?15?6?5x?3?6?11为使 2x?1 ?2x?6?5?5?2x?3?1, 需有 x?3?2.

于是, 倘限制 0?x?3?1 , 就有

5x?9x?311x?3x3?3x2?3x?912??11x?3. ?? ? ? 152x?12x2?7x?3( x0?1 ). 例7 验证 lim1?x?1?x0, x?x022sinx?sinx0. ( 类似有 limcosx?cosx0. ) 例8 验证 limx?x0x?x0 三. 单侧极限:

1． 定义： 单侧极限的定义及记法.

几何意义: 介绍半邻域 ??(a,?)?{x 0?x?a??}, ??(a,?)?

(a?? , a], ??(a,?)?(a , a??), ??(a,?)?(a?? , a ). 然后介绍

00?x?x0limf(x)等的几何意义.

1?x?0. 例9 验证 lim?x?12证 考虑使

1?x22??2的?. ??

2. 单侧极限与双侧极限的关系:

Th limf(x)?A, ? f(x0?0)?f(x0?0)?A.

x?x0类似有: f(?)?A, ? f(??)?f(??)?A.

例10 证明: 极限 limx?1x2?x?2x?1不存在.

例11 设函数f(x)在点的某邻域内单调. 若limf(x)存在, 则有

x?x0 limf(x)=f(x0).

x?x0 Ex [1]P62 2—5，7. §2

函数极限的性质

x???x??x?x0limf(x), limf(x), 我们引进了六种极限: limf(x), limf(x), x??? (x0?0) .以下以极限limf(x)为例讨论性质. 均给出证明或简证. f(x0?0), fx?x0 一. 函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出.

1.

2. 3. 4.

唯一性: 局部有界性: 局部保号性:

单调性( 不等式性质 ):

0x?x0x?x0Th 4 若limf(x)和limg(x)都存在, 且存在点的空心邻域?(x0,??), 使

?x??(x0,??)都有f(x)?g(x), ? limf(x)?limg(x).

x?x0x?x00证 设limf(x)=A, limg(x)?B. ( 现证对???0, 有a?B?2?.)

x?x0x?x0???0, ???0, ?x??(x0,?), ? A???f(x)?g(x)?B??, ? A?B?2?.

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