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第三章连续型随机变量

3.1设随机变量 ? 的分布函数为F（x），试以F（x）表示下列概率： (1)P(??a);(2)P(??a);(3)P(??a);(4)P(??a)。解：(1)P(??a)?F(a?0)?F(a);（2）P(??a)?F(a?0);(3)P(??a)?1?F(a);(4)P(??a)?1?F(a?0)。3.2函数F(x)?

11?x2是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果

（1）???x??(2)0?x??,在其它场合恰当定义； (3)???x?0,在其它场合恰当定义。解：(1)F(x)在(??,?)内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数； (2)F(x)在（0，?)内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数； (3)F(x)在内单调上升、连续且，若定义 （－?，0） F(x)??~?F(X)－??x?0

x?0?1则F(x)可以是某一随机变量的分布函数。

3.3函数 sinx 是不是某个随机变量?的分布函数？如果?的取值范围为

~????3???（1）0，；（2）0，?；（3）0，??。 ???22???????解：(1)当x??0,? 时,sinx?0且?2sinxdx?1，所以 sinx 可以是某个随机变量的分布

0?2?密度； (2) 因为

???0sinxdx?2?1 ,所以sinx不是随机变量的分布密度； ??3?? 时,sinx<=0所以sinx不是随机变量的分布密度。 2?? (3) 当 x???,3.4设随机变量?具有对称的分布函数p(x)，即p(x)=p(-x) 证明：对任意的a>0，有

a1(1)F(?a)?1?F(a)???p(x）dx;20(2)P(??a)?2F(a)?1;(3)P(??a)?2?1?F(a)?.证：(1)F(?a)??p(x)dx?1??p(x)dx?1?????aa0a?a???ap(x)dx

a1?1??p(x)dx?1?F(a)?1??p(x)dx??p(x)dx???p(x)dx;????020aaa1(2)P(??a)??p(x)dx?2?p(x)dx,由(1)知1?F(a)???p(x)dx?a020故上式右端＝2F(a)-1;(3)P(??a)?1－P(??a)?1－?2F(a)?1?。3.5设F1(x) 与

F2(x) 都是分布函数，证明

F(x)=aF(x)+bF(x)

也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？ 证：因为

F1(x) 与 F2(x)都是分布函数，于是

F(x1)＝aF1(x1)+bF2(x2)<= aF1(x1)+bF2(x2)= F(x2) 又

F(x-0)= aF1(x1-0)+bF2(x2-0) = aF1(x)+bF2(x)= F(x) 所以，F(x)也是分布函数。 取a=b=1/2,又令

F1(x)=0 x<=0,1 x>0 F2(x)=0 x<＝0 x 01 此时

0x??0??F(x)??(1?x)/20?x??1

?1x?1?既然，与F(x)对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故F(x)不是离散型的，而F(x)不

是连续函数，所以它也不是连续型的。 3.6设随机变量?的分布函数为

?1?(1?x)e?x x?0F(x)??

?0 x?0求相应的密度函数，并求P(?解：

?1)。

d[1?(1?x)e?x]?xe?x，所以相应的密度函数为 dx?xe?x x?0p(x)???0 x?0

2P(??1)?F(1)?1?e3.7设随机变量?的分布函数为

?0 x<0?F(x)??Ax2 0?x<1

?0 x?1?求常数A及密度函数。

解：因为F(1-0)=F(1)，所以A＝1，密度函数为

0?2x ? p(x)??

0 其他?3.8随机变量?的分布函数为F(x)=A+B arctg(x),常数A与B及相应的密度函数。 解：因为

x???limF(x)?A?B?(??2)?0

x???limF(x)?A?B?(??2)?111 因而 所以 A＝，B＝，2?111?F(x)=?arctg(x)　,　p(x)F(x)?2??(1?x2)3.9已知崔机变量?的分布函数为

?x 0

?0 其他?（1） 求相应的分布函数F(x);

（2） 求p(??0.5), p(??1.3), p(0.2???1.2) 解：

?0 x?0?x??ydy?1x2 12?