内容发布更新时间 : 2024/12/27 10:56:06星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
则在各分量之间以概率1至少存在一个线性关系，即至少存在这样一组不全为零的实数C1，
C2，…，Cn，使得P(C1?1+C2?2+…+Cn?n=常数) =1。
证：由于B=0，即B非满秩，所以存在C=(C1，…，Cn)’，其中C1，…，Cn不全为零，致C’BC=0。由于 C’BC=
1?i,j?n?CCij?E[(?i?E?i)(?j?E?j)]=E[?Ci(?i?E?i)]=D(?Ci??i)，
2i?1nni?1所以存在某个常数 ，使 P(?Ci?1ni??i?a)?1。
p3.83．正随机变量?具有密度函数p?x?，且p?x?在 (0,?)上为单调递减函数，又E?（p>0），则有证：由E?p??limxx??p?1*p(x)?0。
???，知lim?tp*p(t)dt?0。，又由p(x) x?(0,?)在上为单调递减函数
x??xp及x(p?0)在(0,?)上为单调递减函数，所以在x?? 时
p?1p?1p 0?x*p(x)?2*?t*p(t)dt
x/2?2 ?2 故
p?1*?tp*p(t)dt?0,
x/2p?1x lim*p(x)?0。x??3.84.证明下述不等式（设?、?都是连续型或离散型的变量）：(1)若?与?都有p>1阶矩，则有
[ E|???|]p1/p?[E|?|p]1/p?[E|?|p]1/p
pp?1 E|???|?2(E|?|p?E|?|p)
pppp（2）若?与?都具有p>0阶矩，则E|???|?2(E|?|?E|?|) 证：（1）p?0时，[ E|???|]证明略。
在p?1时，|x|是x的下凸函数，故
pp1/p?[E|?|p]1/p?[E|?|p]1/p即所谓的明可夫斯基不等式，
x?yp|x|p?|y|ppp?1pp||?, 即|x?y|?2*(|x|?|y|), 22 故 E|???|?2pp?1*(|x|p?|y|p)。
pp（2）p>0在时，|x?y|?(|x|?|y|)?|2x|p?|2y|p?2p*(|x|p?|y|p),故
E|???|p?2p(E|?|p?E|?|p)。
3.85设随机变量?具有p阶矩，则?必具有q(0 解：在0 3．86 已知二维随机变量(?，?） 的联合分布函数为： 1?pqpqp,x?1,则?的p 阶矩不存在，但却对任意的 q (0 （1?x)y,,,,,,0?x?1,0?y?x?24 (1) p(x,y)=? 0,,,,,,,,,其他?1?1,,,1?x??,?y???2x(2) p(x,y)??2xy ?0,,,,,,,其它??e?y,,,,0?x?y(3) p(x,y)=? 0,,,,,,,,其它? 求条件密度函数 p?|?(x|y)及p?|?(y|x)。 解：（1）p???y024(1?x)ydy?12x2(1?x), 0?x?1；p?(x)?0,其它。 p?(y)??1y 0?y?1；p?(y)?0,其它。 24(1?x)ydx?12y(1?y)2，； 故在0?y?1时 ?2(1?x)/(1?y)2,,,,,,,y?x?1 p?|?(x|y)?? 0,,,,,其它? 在 0?x?1时； ?2y/x2,,,0?y?x p?|?(y|x)?? ?0,,,其它 （2） p?(x)??1lnxdy?,1?x??;1/x2x2yx2 yp?(x)?0,其它。1??1dx?,,,0?y?1??1/yx2y2?1??1dx?,,1?y?? p?(y)???2y2x2y2y??0,,,,,,其它??故在0 1?1.......?x???2y p?|?{x|y)??xy ?0...............其它? 在1 ?y..x.???......y.? p?|?(x|y)??x2 ?0.........其它....? 在1?x??时， 1?1..........?y???x p?|?(y|x)??2ylnx ?0........................其它?(3) p?(x)??y0?xe?ydy?e?x,x?0;p?(x)?0,x?0。 p?(y)??e?ydx?y*e?y,y?0;p?(y)?0；y?0。 在y>0时， ?1?.....0?x?y p?|?(x|y)??y ?0............其它?在x>0时， ?ex?y...y?x p?|?(y|x)?? 其它?0..........x2y23.87 设二维随机变量（?,?）服从椭圆2?2?1?a?0,b?0?内的均匀分布,求条件密度 ab函数p?/??x/y?及p?/??y/x?。 解：p??x??ba2?x2a??ba2?x212a2?x2dy? ， a?ab?a2 x?a；p??x??0，其它。 同理 p??y??2b2?y2?b2 y?b；p??y??0，其它。 ，所以在 y?b时， b??p?/??x/y???2ab2?y2??0同理在x?a时， x?a?b2?y2b 其它a??p?/??y/x???2ba2?x2?0? y?b?a2?x2a其它 3.88设二维随机变量（?,?）的联合分布密度为： ?(n?1)(n?2)???x,y???(1?x?y)n?0?x?0,y?0其它 其中n > 2。求??1条件下?的条件分布密度。 ?n?1??n?2?n?2解：p??x???dy?0?1?x?y?n?1?x?n?1?x?0. 故 ?2n?1?n?1?/(2?y)np?/??y/1????0 2y?0其它 3.89 设随机变量?服从分布N(m,?)，随机变量?关于?的条件分布为N(x,?)求?的 2分布及?关于?的条件分布。 ??x?m?2?y?x?2? 解：p(x,y)?p??x??p???yx??exp???? 。 222???2?2???1??2??2???y?m?2??m?2?y?2??p??y???p?x,y?dx??exp???exp????x???22????2222??2???2???2?????????????1??故 ?~N?m,?2??2?p?/??x/y??p?x,y?/p??y???2??222222????????m??y?? ， (2???)?exp???x??2222??2???????????????2m??2y?2??2,故在??y时，?的条件分布为N???2??2??? ?? 。 ??3.90 设?1,?2,?,?n,?为具有数学期望的独立随机变量序列，随机变量?只取正整数值，且与{?n，n≥1}独立，证明：E ????=?E?kk?1k?1??k·P（η≥k）。 证明：E ??k?1k=E[E（ ??k?1k︱η）] ??? ＝?E????k??·P(η=s) s?1?k?1????? =??E???k??·P(η=s) s?1?k?1????? = ?E?k·??P（??s）? k?1?s?k?? = ?E?k?1?k·P（η≥k）。 3．91求下列连续性分布的特征函数： （１）（－ａ，ａ）上的均匀分布（ａ＞０）， （２）柯西分布，其密度函数为