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青岛科技大学 试题 __2014__年~__2015___年第 一学期 课程名称： 数值分析 专业年级： 2014级（研究生） 考生学号： 考生姓名： 试卷类型： A卷 √ B卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □ ……………………………………………………………………………………………………… 一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 1.设有节点x0,x1,x2，其对应的函数y?f?x?的值分别为y0,y1,y2，则二次拉格朗日插值基函数l0(x)为 。 2.设f?x??x2，则f?x?关于节点x0?0,x1?1,x2?3的二阶向前差分为 。 ?1?10??2??，x??3?，则?11?13.设A??A1＝ ，x1? 。 ???????0?11???3??4. n?1个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。 二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？ 2. 什么是不动点迭代法？??x?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于??x?的不动点？ 3. 设n阶矩阵A具有n个特征值且满足?1??2??3?求解矩阵A的主特征值和特征向量的算法及流程。 三．求一个次数不高于3的多项式P3?x?，满足下列插值条件： 请简单说明??n，xi yi

1 2 2 4 3 12

yi? 并估计误差。（10分） 3 1dx。（10分） 01?x1四．试用n?1,2,4的牛顿-科特斯求积公式计算定积分I??五．用Newton法求f(x)?x?cosx?0的近似解。（10分） 六．试用Doolittle分解法求解方程组： 5?6??x1??10??2?9x????1 ?10分） 413?19 ?（2???????????6?3?6???x3?????3?0?20x1?2x2?3x3?24?七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组?x1?8x2?x3?12 的迭代格式，并?2x?3x?15x?3023?1判断其是否收敛？（10分） ?y???y八．就初值问题?考察欧拉显式格式的收敛性。（10分） ?y(0)?y0

《数值分析》（A）卷标准答案 （2009－2010－1） 一． 填空题（每小题3分，共12分） 1. l0?x??(x?x1)(x?x2)； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1。 (x0?x1)(x0?x2)二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 1. 解：系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。 （4分） 对于对称正定阵 A，从aii??i2l可知对任意k ? i 有|lik|?aii。即 L 的元素不ikk?1会增大，误差可控，不需选主元，所以稳定。 （4分） 2. 解：（1）若x*???x*?，则称x*为函数??x?的不动点。 （2分） （2）??x?必须满足下列三个条件，才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于??x?的不动点： 1）??x?是在其定义域内是连续函数； （2分） 2）??x?的值域是定义域的子集； （2分） 3）??x?在其定义域内满足李普希兹条件。 （2分） 3.解：参照幂法求解主特征值的流程 （8分） 步1：输入矩阵A，初始向量v0，误差限?，最大迭代次数N; 步2：置k:=1,μ:=0，u0=v0/||v0||∞; 步3：计算vk=Auk-1; 步4：计算 ?vk?r?max?vk?i; 1?i?n并置mk:=[vk]r, uk:=vk/mk; 步5：若|mk- μ |< ?，计算，输出mk,uk；否则，转6； 步6：若k