内容发布更新时间 : 2024/12/23 20:22:19星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第二章 导数与微分及导数的应用
一 导数的概念与导数的计算
1. 导数的晚概念及几何意义 (1)导数的定义
设函数
点处有增量,函数
时,极限
在点的某一邻域内有定义,当自变量在就有相应的增量
,若当
存在,则称函数处的导数,记为
在点处可导,并称此极限值为函数在点
或.
如果极限
不存在,则称函数在点处不可导.
导数概念是高等数学一个重要的基本概念,应深刻理解它
的定义形式及实际背景.应注意以下两点:
·导数的另一种表达形式为· 对于固定的,要搞清
示
在点导数的值,而后者表示对常数
.
(2)导数的几何意义
.
与
的差别.前者表求导数,因此
函数
在点
切线的倾斜角图2.1 如果函数
在点
如果函数为:
(3)左、右导数
处的切线的斜率,即
在点处的导数
,其中
表示曲线是在
处
,如图2.1所示.
在点 处连续,而导数为无穷大,即
处的切线垂直于 轴 .
,则曲线
在点处可导,则曲线
,法线方程为
在点处的切线方程
左导数:
右导数:
函数
在点处可导的充分必要条件是:
.
在处的左、右导数均
存在且相等,即
[注意]
·可导与连续的关系
若函数若函数
在处可导,那么函数在处连续,该函数
必在处连续,反之,
在
在处未必可导.如函数
处连续但不可导,即函数在处可导是连续的充分条件,而连续是可导的必要条件.由此可知,若不可导.
·分段函数在分界点处的导数
函数在处可导的充要条件是在处的左、右导数均存在并相等,因此要求分段函数在分界点处的导数,首先要求出该点的左导数和右导数,如果都存在并相等,那么函数在该点处可导,且;如果在处的左、右导数有一个不存在或
者左、右导数都存在但不相等,那么函数在该点不可导.
2. 求导数的方法
(1)基本初等函数的导数公式
在处不连续,则在处必
(为常数);
(为任意实数);
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