内容发布更新时间 : 2024/10/23 1:58:31星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

《实变函数》综合训练题（四）

（含解答）

一、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）

1、设E是[0,1]中的有理点全体，则（C、D）[考核对典型集合掌握的情况] （A）E是闭集 （B）E中的每一点都是内点 （C）E是可数集 （D）mE?0 2、设E是[0,1]中的无理点全体，则（C、D）

（A）E是可数集 （B）E是闭集 （C）E中的每一点都是聚点 （D）mE?0 3、若E?R1的外测度为零，则（ B、D ）[考核零测集的特点] （A）E一定是可数集 （B）E一定是可测集 （C）E不一定是可数集 （D）mE?0

4、若E?R1至少有一个内点，则（ B、D ）[考核典型集的外测度可数性的特点] （A）mE可以等于零 （B）mE?0 （C）E可能是可数集 （D）E是不可数集

5、设mE???(E?R)，函数列{fn(x)}为E上几乎处处有限的可测函数列，f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，若fn(x)?f(x)(x?E)，则下列哪些结论不一定成立（A、B、C、D）

[考核可测函数与勒贝格积分的简单综合]

（A）?f(x)dx存在 （B）f(x)在E上L可积

E**n（C）fn(x)?f(x)(x?E) （D）lim?fn(x)dx??f(x)dx

n??EEa.e.6、设E?[a,b]是可测集，则E的特征函数XE(x)是 （A、B、C ）[考核特征函数的特点]

（A）[a,b]上的简单函数（B）[a,b]上的可测函数 （C）E上的连续函数（D）[a,b]上

的连续函数

7、若f(x)在可测集E上有L积分值，则（A、C ）[考核勒贝格积分的定义]

（A）f(z)和f(z)中至少有一个在E上L可积 （B）f(z)和f(z)都在E上L可积 （C）f(z)在E上也有L积分值 （D）f(z)在E上一定L可积 8、设f(x)在可测集E上L可积，则（ B、D ）[考核勒贝格积分的定义]

（A）f(z)和f(z)有且仅有一个在E上L可积 （B）f(z)和f(z)都在E上L可积

（C）f(z)在E上不一定L可积 （D）f(z)在E上一定L可积

9、设f(z)是[a,b]的绝对连续函数，则（ A、B、C ）[考核绝对连续函数、有界变差函数的基本性质]

（A）f(z)是[a,b]上的连续函数 （B）f(z)是[a,b]上的一致连续函数 （C）f(z)是[a,b]上的有界变差函数 （D）f(z)在[a,b]上处处可导

10、设f(z)是[a,b]的单调函数，则（ A、C、D）[考核绝对连续函数、有界变差函数的基本性质]

（A）f(z)是[a,b]的有界变差函数 （B）f(z)是[a,b]的绝对连续函数 （C）f(z)在[a,b]上几乎处处连续 （D）f(z)在[a,b]上几乎处处可导 二、单项选择题 （每题仅有一个正确答案）

1．设E是[0,1]中的无理点全体，则E是（ Ｃ ）.[考核对典型集合掌握的情况] （Ａ）可数集 （Ｂ）有限集 （Ｃ）不可数集 （Ｄ）零测集 2．下面集合关系成立的是（ Ａ ）. [考核对集合的基本运算掌握的情况]

????????(A\\B)?B?A?B （Ｂ）(A\\B)?B?A （Ｃ）(B\\A)?A?A （Ｄ）B\\A?A （Ａ）

3．若E?R2至少有一个内点，则有（Ｂ ）. [考核对典型集合外测度掌握的情况]

（Ａ）mE?0 （Ｂ）mE?0 （Ｃ）mE?0（Ｄ）mE?0 4．设E?R2是开集，则（ Ｂ ）.[考核开集闭集的基本特征] （Ａ）E??E （Ｂ）E0?E （Ｃ）E?E （Ｄ）E??E

5．设E?[a,b]是可测集，则E的特征函数XE(x)是[a,b]上的（Ａ）. [考核对集合的特征函数的认识]

（Ａ）简单函数 （Ｂ）常函数 （Ｃ）连续函数（Ｄ）单调函数

**?1,x?Q6．设Q?[0,1]是有理数集，D(x)??,则D(x)是[0,1]上的（Ｃ）.[考核目标同上

0,x?Q?题]

（Ａ）连续函数（Ｂ）单调函数（Ｃ）简单函数（Ｄ）定积分存在的函数 7．设f(x)在可测集E上勒贝格可积，则（Ｂ）. [考核勒贝格积分的定义]

（Ａ）f(x)和f(x)有且仅有一个在E上勒贝格可积；（Ｂ）f(x)和f(x)都在E上勒贝格可积

??（Ｃ）f(x)和f(x)都在E上不勒贝格可积；（Ｄ）f(x)?f(x)?f(x)在E上不勒

??????贝格可积

8．设W是[0,1]上的无理数集，c表示连续基数，则（Ｄ）. [考核对典型集合基数和测度掌握的情况]

（Ａ）W?c （Ｂ）W?c （Ｃ）mW?0 （Ｄ）mW?1

9．设f(x)是[a,b]上的单调函数，则f(x)是[a,b]上的（Ｄ）. [考核基本的有界变差函数和绝对连续函数]

（Ａ）连续函数 （Ｂ）绝对连续函数 （Ｃ）可导函数 （Ｄ）有界变差函数

10．设f(x)在[a,b]上绝对连续，则f(x)在[a,b]上（Ａ）.[考核绝对连续函数的关系的基本性质]