内容发布更新时间 : 2025/1/7 7:19:21星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

26.5特征值与特征向量矩阵的简单应用

【知识网络】

1、矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义； 2、会求二阶方阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）；

3、了解三阶或高阶矩阵； 4、矩阵的应用。 【典型例题】

例1：（1）、已知a?5，且 a?(4,n)，则n的值是（ ） A．3 B．－3 C．±3 D．不存在 答案：C。解析：a?1042?n2?5，解得n=±3。

?3 0??3? （2）????= ( )

?0 1??1??39??310??312??311? A、?? B、?? C、?? D、??

?1??1??1??1??3 0??3??310 0??3??311?答案：C。解析：????????????。 0 11?????0 1??1??1?10（3）设某校午餐有A、B两种便当选择，经统计数据显示，今天订A便当的人，隔天再34订A便当的机率是；订B便当的人，隔天再订B便当的机率为，已知星期一有40%的同

55学订了A便当，60%的同学订了B便当，则星期四时订A便当同学的比率为 （）

A、

208209210211 B、 C、 D、 625625625625?31??4739??2??211? ?55????5??625?3125125答案：D。解析：设M=??，则M???????。

2478863414? ??????? ????????55??125125??5??625???12???5 （4）矩阵??3???的特征值是。 ?2?答案：-4或2。解析：矩阵M的特征值?满足方程

??1-252

=(-1) (+3)-(-)(-2)=?+2?-8=0 ??52-??32解得，矩阵M的两个特征值?1=-4，?2=2。

（5）一实验室培养两种菌，令?an?和?bn?分别代表两种培养菌在时间点n的数量，彼

此有如下的关系an?1?2(an?bn),bn?1?2bn(n?0,1,2)，若二阶矩阵A=??满足c d???an+??an?b?A（其中n=0,1,2…），则a?，b?，c?，d?。 ????，cb3?n+??n??an?3?2an?2bn?an?2?4an?8bn?an?3?8an?24bn????，

b?2bb?4bb?8bnnn?n?1?b?2?n?3?a b?答案：8，24，0，8。解析：?故??an+3??8 24??an??????b?得a?8,b?24,c?0,d?8。 b0 8??n??n+3??例2：根据下列条件试判断M? 是否与? 共线

0?，非零向量? =?x?⑵ M=?-12?， ? =?3? 3??????23???-2???y??30??x?=?3x?=3?x?

答案：⑴ M?=???03????3y????y????y??所以M?与?共线。

-12??3?=?-7? 而?-7?与?3?不共线。 即此时M?与?不共线。

⑵ M?=????23????-2????0???0????-2???-12?例3：求矩阵M=?5?的特征值和特征向量

???23?⑴M=?答案：矩阵M的特征值?满足方程

3??0??1-2525=(?+1) (?-3)-(-)(-2)=?-2?-8=0 -22?-3解得，矩阵M的两个特征值?1=4，?2=-2

x⑴设属于特征值?1=4的特征向量为??，则它满足方程： ??y??(?1+1)x+(-2)y=0 即：（4+1）x+(-2)y=0 也就是 5 x-2y=0

则可取??为属于特征值?1=4的一个特征向量

?2??5?x⑵设属于特征值?1=-2的特征向量为??，则它满足方程：

??y??(?2+1)x+(-2)y=0

即：（-2+1）x+(-2)y=0 也就是 x+2y=0

-2?为属于特征值?=-2的一个特征向量

2

??1???-12?综上所述：M=?5? 有两个特征值?1=4，?2=-2，

???23? 则可取??2?-2属于?1=4的一个特征向量为??，属于?2=-2的一个特征向量为??。

?1??5???例4：已知：矩阵M=?5?-12?3?1??，向量? =?16? 求M?

?????23?1-2答案：由上题可知?1 =?? ， ?2 =??是矩阵M分别对应特征值?1=4，?2=-2的两个

?5????1???1?=3?1?+?-2?=3?+?

12

??5????1???16???-2333333313

∴M?= M（3?1+?2）=3 M?1+ M?2 =3?1?1+?2?2=3×4??+（-2）×??

???5???1??1-2192?1?(-8)?(-2)?=?208?。

= 192×??-8×??=????5???1????192?5?(-8)?1????952??特征向量，而?1 与?2 不共线。又 ? =?【课内练习】

1．a＝(3，－1)， b＝(－1，2)，则－3a－2b的坐标是( ) A．(7，1) B．(－7，－1) C．(－7，1) D．(7，－1) 答案：B。 2．矩阵??4 2??的特征值是 （ ） 2 1??A、0和5 B、0和—5 C、1和4 D、—1和—4

答案：A。解析：由已知f(?)?(??4)(??1)?4??2?5??0，解得?1?0,?2?5。

B3．下图为一个网络，则一级路矩阵为（）

?0 1 1 2??0 1 2 2??0 2 2 2??0 2 2 2?AC?1 0 1 0??1 0 1 2??2 0 2 1??2 0 2 2?? B、?? C、?D? D、?? A、??1 1 0 0??2 1 0 0??2 2 0 0??2 2 0 2??????????2 0 0 0??2 2 0 0??2 1 0 0??2 2 2 0?答案：A。 4．矩阵A=??1 4??的特征多次式为。 2 3??答案：?2?4??5。解析：f(?)???1 -4??2?4??5。

-2 ?-3?1????1????1????1???5．设A是一个二阶矩阵，满足A???3??，且A???6??，则A=。

0033答案：??3 1??a b?。解析：设A=??c d?， 0 6?????1 2??的所有特征向量为。 3 2???1???则a?3,c?0,a?3b?6,c?3d?18,?a?3,b?1,c?0.d?6。 6．矩阵M=??2???答案：k??和k??,(k?0)。解析：已知f(?)?(??1)(??2)?6??2?3??4?0,

3?1∴?1??1,?2?4，对应的特征向量为??1??2??2?和，故所有的特征向量为：k??3??3?和?1??????