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微分几何主要习题解答

第一章 曲线论

§2 向量函数

5. 向量函数r(t)具有固定方向的充要条件是r(t) ×

???????r'(t)= 0。

? 分析：一个向量函数r(t)一般可以写成r(t)=?(t)e(t)的形式，其中e(t)为单位向

??量函数，?(t)为数量函数，那么r(t)具有固定方向的充要条件是e(t)具有固定方向，??即e(t)为常向量，（因为e(t)的长度固定）。

????? 证 对于向量函数r(t)，设e(t)为其单位向量，则r(t)=?(t)e(t)，若r(t)具有固

????????定方向，则e(t)为常向量，那么r'(t)=?'(t)e，所以 r×r'=??'（e×e）=0。

?????????er'反之，若r×r'=0 ，对r(t)=?(t)e(t) 求微商得=?'e+?'，于是r×

?????????2r'=?（e×e'）=0，则有 ? = 0 或e×e'=0 。当?(t)= 0时，r(t)=0可与任意方向平行；当?????????2?2???2

0时，有e×e'=0，而（e×e')2=ee'-(e·e')2＝e'，（因为e??????e'e具有固定长， e·= 0） ，所以 '=0，即e为常向量。所以，r(t)具有固定方向。

????6．向量函数r(t)平行于固定平面的充要条件是（rr'r''）=0 。

??分析：向量函数r(t)平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量n(t)，使

??????r(t)·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n及n与r'，r''的关系。

???证 若r(t)平行于一固定平面π，设n是平面π的一个单位法向量，则n为常向

?????????量，且r(t)·n = 0 。两次求微商得r'·n = 0 ，r''·n = 0 ，即向量r，r'，r''垂直

????于同一非零向量n，因而共面，即（rr'r''）=0 。

????????????反之, 若（rr'r''）=0，则有r×r'=0 或r×r'?0。若r×r'=0，由上题知

???r(t)具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r×r'??0，则存在数量函数?(t)、

????(t)，使r''= ?r+?r' ①

1

r?tt微分几何主要习题解答

????令n=r×r'，则n???????0，且r(t)⊥n(t)。对n=r×r'求微商并将①式代入得

?????n'=r×r''=?（r×r'）=???????n，于是n×n'=0，由上题知n有固定方向，而r(t)??⊥n，即r(t)平行于固定平面。

§3 曲线的概念

1．求圆柱螺线x=cost，y=sint，z=t在（1,0,0）的切线和法平面。

?解 令cost=1,sint=0, =0得=0, r'(0)={ -sint,cost,1}|t?0 ={0,1,1},曲线在(0,1,1)的切线为 x?1?y?z ，法平面为 y + z = 0 。

011?2．求三次曲线r?{at,bt2,ct3}在点t0的切线和法平面。

23x?at0y?bt0z?ct0?2解 r'(t0)?{a,2bt0,3ct0}，切线为， ??2a2bt03ct0223法平面为 a(x?at0)?2bt0(y?bt0)?3ct0(z?ct0)?0。

?3. 证明圆柱螺线r={ a cos?,asin?,b?} (???????)的切线和z轴作固

定角。

?r证明 '= {-asin? ,acos?,b},设切线与z轴夹角为?,则cos?

???r'?kb=???22为常数，故?为定角（其中k为z轴的单位向量）。 |r||e|a?b?4. 求悬链线r={tt，acosha}（-??t??）从t=0起计算的弧长。

t解 r'= {1，sinha}，|r' | =

??1?sinh2tat = cosha， ｓ＝

?cosh0ttatdt?asinha 。

９．求曲线x?3ay,2xz?a322ay?在平面3

与y = 9a之间的弧长。

ax3a2解 曲线的向量表示为＝{x,2,}，曲面与两平面y?3 与y = 9a的交

3a2x2

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??x2a2x2a2x4a4点分别为x=a 与x=3a , r'＝{1,2,?2}，｜r'｜＝1??4＝2?2，

a2xa44xa2x所求弧长为s??3aax2a2(2?2)dx?9a 。 a2x?10. 将圆柱螺线r={acost，asint，bt}化为自然参数表示。

?r解 '= { -asint,acost,b}，s =

?代入原方程得 r={acos?t0?|r'|dt?a2?b2t，所以t?sbsa?b22sa?b22，

sa?b22, asina?b22, }

11.求用极坐标方程???(?)给出的曲线的弧长表达式。

?解 由x??(?)cos?，y??(?)sin?知r'={?'(?)cos?-?(?)sin?，

?'(?)sin?s=???0?r+?(?)cos?}，|'| =

?2(?)??'2(?)，从?0到?的曲线的弧长是

?2(?)??'2(?)d? 。

§4 空间曲线

1．求圆柱螺线x=acost，y=asint，z= bt在任意点的密切平面的方程。

?解 r'={ -asint,acost,b},r''={-acost,- asint,0 } 所以曲线在任意点的密切平面的方程为

x?acost?asint?acosty?asintacost?asintz?btb0? = 0 ，即(bsint)x-(bcost)y+az-abt=0 .

?2. 求曲线r = { tsint,tcost,tet } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切

线、主法线、副法线。

解 原点对应t=0 , r'(0)={ sint+tcost,cost- tsint,et+tet}t?0={0,1,1}，

?3

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?r''(0)?{2cost+ tcost,cost- tsint,2et+tet}t?0 ={2,0,2} ，

所以切线方程是

xyz?? ，法面方程是 y + z = 0 ； 011xyz密切平面方程是011=0 ，即x+y-z=0 ，

202?x?y?z?0yxz? ； 主法线的方程是? 即?2?11?y?z?0从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式

3．证明圆柱螺线x=acost，y=asint，zxyz?? 。 11?1= bt的主法线和z轴垂直相交。

???V证 r'={ -asint,acost,b}, r''={-acost,- asint,0 } ，由r'⊥r''知r''为

????r主法线的方向向量，而''?k?0 所以主法线与z轴垂直；主法线方程是

x?acosty?asintz?bt??

costsint0与z轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和z轴垂直相交。

4.在曲线x = cos?cost ,y = cos?sint , z = tsin?的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。

解 r'= {-cos?sint, cos?cost, sin? } , r''={ -cos?cost,- cos?sint , 0 }

??r'?r''?????{sin?sint ,- sin?cost , cos? }

|r'?r''|?新曲线的方程为r={ cos?cost + sin?sint ，cos?sint- sin?cost ，tsin? + cos? }

?对于新曲线r'={-cos?sint+ sin?cost ，cos?cost+ sin?sint，sin? }={sin(?-t),

????cos(?-t), sin?} , r''={ -cos(?-t), sin(?-t),0} ,其密切平面的方程是

x?cosacostsin(a?t)?cos(a?t)y?cosasintcos(a?t)sin(a?t)z?tsinasina0?0

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即 sin? sin(t-?) x –sin? cos(t-?) y + z – tsin? – cos? = 0 .

5．证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。 证 方法一：

??设一曲线为一球面曲线，取球心为坐标原点，则曲线的向径r(t)具有固定

??长，所以r·r'= 0，即曲线每一点的切线与其向径垂直，因此曲线在每一点的法平面

通过这点的向径，也就通过其始点球心。

? 若一曲线的所有法平面通过一定点，以此定点为坐标原点建立坐标系，???则r·r'= 0，r(t)具有固定长，对应的曲线是球面曲线。

方法二：

???r?r(t)是球面曲线?存在定点r0（是球面中心的径矢）和常数R（是球面的

????????半径）使(r?r0)2?R2?2(r?r0)?r??0 ，即(r?r0)?r??0 （﹡）

?????而过曲线r?r(t)上任一点的法平面方程为(??r)?r??0 。可知法平面过球面

中心?（﹡）成立。

所以，曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。

?6.证明过原点平行于圆柱螺线r={acost，asint，bt}的副法线的直线轨迹是锥面a2(x2?y2)?bz2.

证 r'={ -asint?,acost, }, r''={-acost?,- asint,0 }

，

?r'×

?r''=?a{?bsint,bcost,?a}为副法线的方向向量，过原点平行于副法线的直线的方程

是

yxz?? ，消去参数t得a2(x2?y2)?bz2。 bsint?bcosta

7．求以下曲面的曲率和挠率

?⑴ r?{acosht,asinht,at},

?⑵ r?{a(3t?t3),3at2,a(3t?t3)}(a?0)。

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