内容发布更新时间 : 2024/5/17 17:43:17星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

微分几何主要习题解答

???解 ⑴r'?{asinht,acosht,a}，r''?{acosht,asinht,0}，r'''?a{sinht,cosht,0}，

????|r'?r''|2a2cosht1 r'?r''?a{?sinht,cosht,?1}，所以k??3??23|r'|2acosht(2acosht)???(r',r'',r''')a21 。 ????2?4?(r'?r'')2acosh2t2acosh2t???⑵ r'?3a{1?t2,2t,1?t2}，r''?6a{?t,1,t},r'''?6a{?1,0,1}，

????18a22(t2?1)|r'?r''|222 r'×r''=18a{t?1,?2t,t?1} ，k??3??223|r'|27a22(t?1)???(r',r'',r''')18?6a3?21 。 ????2?24?2222(r'?r'')18a?2(t?1)3a(t?1)

1 223a(t?1)???? 8．已知曲线r?{cos3t,sin3t,cos2t}，⑴求基本向量?,?,?；⑵曲率和挠率；⑶验证伏雷内公式。

分析 这里给出的曲线的方程为一般参数，一般地我们可以根据公式去求基本向量和曲率挠率，我们也可以利用定义来求。

?解 ⑴ r'?{?3cos2tsint,3sin2tcost,?2sin2t}?sintcost{?3cost,3sint,?4}，

??r'ds?334?|r'(t)|?5sintcost,（设sintcost>0）， 则????{?cost,sint,?}， dt|r'|555?d?dt133????{sint,cost,0} ， ????{sint,cost,0}，

?dtds5sintcost55|?|???443??????{cost,?sint,?}，

555???????34{?sint,?cost,0} ，由于?与?方⑵ k?|?|? ，??25sintcost25sintcost??4向相反，所以 ??|?|?

25sintcost???????????⑶ 显然以上所得 ?,k?,?,?满足 ??k?,?????，而

???????????1{cost,?sint,0}??????? 也满足伏雷内公式 。

5sintcost6

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9.证明如果曲线的所有切线都经过一的定点，则此曲线是直线。

??证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r＝r(t)，则曲线在

?????任意点的切线方程是??r(t)??r'(t)，由条件切线都过坐标原点，所以r(t)??r'(t)，?????可见r∥r'，所以r具有固定方向，故r＝r(t)是直线。

??方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r＝r(t)，则曲线在任意

?????点的切线方程是??r(t)??r'(t)，由条件切线都过坐标原点，所以r(t)??r'(t)，于

是r'＝?r''，从而r'×r''＝0，所以由曲率的计算公式知曲率k＝０，所以曲线为直线。

???方法二：设定点为r0，曲线的方程为r＝r(s)，则曲线在任意点的切线方程是

??????????????r(s)???(s)，由条件切线都过定点r0，所以r0?r(s)???(s)，两端求导得:

??? ??(s)????(s)????, 即(???1)?(s)?????0 ，而?(s),?(s)无关，所以???1?0，?????可知??0,??(s)?0，因此曲线是直线。

10. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一的定点，则此曲线是平面曲线。

??证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r＝r(t)，则曲线在

????任意点的密切平面的方程是(??r(t))?(r'(t)?r''(t))?0，由条件??????????r(t)?(r'(t)?r''(t))?0，即（rr'r''）=0，所以r平行于一固定平面，即r＝r(t)是平面曲线。

??方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r＝r(s)，则曲线在任

?????意点的密切平面方程是(??r(s))???0，由条件r(s)???0，两边微分并用伏雷内

???????????公式得 ??r(s)???0。若r(s)???0,又由r(s)???0可知r(s)∥??r(s),所以r＝

???r(s)平行于固定方向，这时r＝r(s)表示直线,结论成立。否则??0，从而知曲线是

平面曲线。

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??方法三：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r＝r(t)，则曲线在任意

???????点的密切平面方程是(??r(t))?(r'(t)?r''(t))?0，由条件?r(t)?(r'(t)?r''(t))?0，

??????????即（rr'r''）=0，所以r，r'，r''共面，若r∥r'，则r＝r(t)是直线，否则可设

?????????r''??r??r',?r'''??r'??r''，所以r',r'',r'''共面，所以??0，从而知曲线是平面

曲线。

? 11. 证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量e，那么曲线是直线或平面曲线。

?????证 方法一：根据已知??e?0，若?是常向量，则k=|?|=0 ，这时曲线是直???????????线。否则在??e?0两边微分得?·e=０，即 k?·e=０,所以?·e=０，又因??e?0，

??????所以?∥e，而?为单位向量，所以可知?为常向量，于是|?|?|?|?0，即??0，此

曲线为平面曲线。

??????方法二：曲线的方程设为r＝r(t)，由条件r'·e＝０，两边微分得r''·e＝０，????????r'''·e＝０，所以r'， r''，r'''共面，所以（r'r''r'''）＝０。由挠率的计算公式

???可知??0，故曲线为平面曲线。当r'×r''＝0时是直线。

????rr方法三：曲线的方程设为＝r(t)，由条件'·e＝０，两边积分得（p是常数）。?????因r?e?p是平面的方程，说明曲线r＝r(t)在平面上，即曲线是平面曲线，当r'有

固定方向时为直线。

12．证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率为常数的曲线。

??证明 设曲线（C）：r＝r(s)的曲率k为常数,其曲率中心的轨迹（C）的方程

??1?为：??r(s)??(s) ，（?为曲线（C）的主法向量），对于曲线（C）两边微分

k????????1得 ?'??(s)?(?k????)?? ，（?，?，?分别为曲线（C）的单位切向量，副

kk??|?|???2????3??，|?'|?法向量和挠率），?''???，?'??''?2?，曲线（C）的曲率为

kkkk??8

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3|?|???|?'??''|k2k??3?3?k 为常数。 |?||?'|k313.证明曲线x=1+3t+2t2,y=2-2t+5t2,z=1-t2为平面曲线，并求出它所在的平面方程 。

???证 r'={3+4t, -２+10t,-2t}， r''={4，10，-２}， r'''＝｛０，0，0｝

???(r',r'',r''')曲线的挠率是????2?0，所以曲线为平面曲线。曲线所在平面是曲线在任

(r'?r'')???一点的密切平面。对于ｔ=０,r =｛１,２,１｝，r'={3, -２,０}， r''={4，10，-２}，

?r'''＝｛０，0，0｝。所以曲线的密切平面，即曲线所在平面是

x?1y?2z?134?2100?0 ，?2即2x+3y+19z –27＝０．

14．设在两条曲线Γ、?的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行。

???? 证 设曲线Γ：r=r(s)与?：r?r(s)点s与s一一对应，且对应点的切线平行，

????ds?ds?则?(s)=??(s), 两端对s求微商得????, 即k?(s)??k?(s) ，(这里k?0，

dsds?????若k=|?|=0，则?无定义)，所以?∥?，即主法线平行，那么两曲线的副法线也平

??行。

15．设在两条曲线Γ、?的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的主法线平行，证明它们在对应点的切线作固定角。

????证 设?,?分别为曲线Γ、?的切向量,?,? 分别为曲线Γ、?的主法向量,

??????d???ds???(???)??????则由已知?(s)???(s)．．．．．① ，而＝

dsds????????ds??dsk??????k?(s)?0。所以?·?＝常数， 将①式代入 ?k????(???)故量

dsds曲线的切线作固定角。

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16.若曲线Γ的主法线是曲线?的副法线, Γ的 曲率、挠率分别为?,?。求证k=?0(?2+?2) ,其中?0为常数。

?????证 设Γ的向量表示为r=r(s)，则?可表示为?=r(s)+?(s)?(s)， ?的切向量?????????'=?+??+?（－k?+??）与?垂直，即?'·?＝??＝０，所以?为常数，设为?0，

???????则?'＝（１－?0k）?+?0??。再求微商有?''＝－?0k?＋（１－?0k）k?＋?0???????－?0??，?''·?＝（１－?0k）k－?0?2＝０，所以有k=?0(?2+?2)。

2?t17．曲线r={a(t-sint),a(1-cost),4acos}在那点的曲率半径最大。

2解 r'= a{1-cost,sint,-2sin

???ttt} , r''= a{sint,cost,-cos}, |r'|?22|sin|, 22222222??tttttttr'×r''=a2{?2sin3,?2sin2cos,4acos}??2a2sin2{sin,cos,1},

22????|r'?r''|22t2 , k??3?|r'×r''|=2asin218a|sint|2|r| ,R?8a|sint| ,所以在2t=(2k+1)?，k为整数处曲率半径最大。

????18． 已知曲线(C)?C3:r?r(s)上一点r(s0)的邻近一点r(s0??s)，求???r(s0??s)点到r(s0)点的密切平面、法平面、从切平面的距离（设点r(s0)的曲率、挠率分别为?0,?0）。

?3??????(s)?s?1??(s)?s2?1[???(s)??rr]?s＝r(s0??s)－r(s0)＝r00023!??????????11?0?s??0?0?s3＋(?k02?0?k0?0??0?0?0??)?s3，设???1?0??2?0??3?0，

26???其中lim??0 。则r(s0??s)－r(s0)

解

?s?010