内容发布更新时间 : 2024/5/7 12:35:18星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

微分几何主要习题解答

??111123?23＝[?s?(??0??1)?s]?0?[?0?s?(?0??2)?s]?0?[(?0?0??3)?s3]?0

6266??上式中的三个系数的绝对值分别是点r(s0??s)到r(s0)的法平面、从切平面、密切平面的距离。

§5 一般螺线

5. 证明如果所有密切平面垂直于固定直线,那么它是平面直线.

?证法一: 当曲线的密切平面垂直于某固定直线时,曲线的副法向量?是常向量.

????即?=0。曲线的挠率的绝对值等于|??|为零，所以曲线为平面曲线。

?????证法二：设n是固定直线一向量，则r'·n=0 ，积分得r·n=p ,说明曲线在以

?n为法向量的一个平面上,因而为平面直线。

???????证法三：设n是固定直线一向量，则r'·n=0 ，再微分得r''·n=0 ，r'''·n=0 。??????r'rr''r'''所以 、 、三向量共面，于是（'r''r'''）= 0 ，由挠率的计算公式知?=0，

因此曲线为平面曲线。

7．如果两曲线在对应点有公共的副法线，则它们是平面曲线。

?????证 设一曲线为Γ：r＝r(s)，则另一曲线?的表达式为：??r(s)??(s)?(s) ，

?(s)为曲线Γ在点s的主法向量，也应为?在对应点的副法线的方向向量。 ??????????'＝?＋??－???与?正交，即?'·?＝０，于是??＝０，?为常数。?'＝?－

????????，?''＝k?－?而?????????－??（－k?＋??）也与?正交，即?''·?＝-??2=0,

??０,所以有?＝０，曲线Γ

为平面曲线。同理曲线?为平面曲线。

????8. 如果曲线Γ：r＝r(s)为一般螺线, ?、?为Γ的切向量和主法向量，R为

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微分几何主要习题解答

???Γ的曲率半径。证明?：?=R?－??ds也是一般螺线。

???证 因为Γ为一般螺线, 所以存在一非零常向量e使?与e成固定角,对于曲线

???????????,其切向量?'=R??R?????R与?共线,因此也与非零常向量e成固定角, 所

以?也为一般螺线。

....??????????9．证明曲线r＝r(s)为一般螺线的充要条件为(r,r,r)?0

?????....????2?32???????????,r??3?????(?????????)??(2???????)? 证 r???，r??????....??????????5????????????)?3?3?????3(???????)??5(r,r,r)??3(2k?()，其中k?0. ＝2??????曲线r＝r(s)为一般螺线的充要条件为 为常数,即()?=0,也就是

??.?...???????(r,r,r)?0 。

....?????????????,???,?????)?0。曲线r方法二： (r,r,r)?0，即(?＝r(s)为一般螺线，则存在常向

??????????????e???e?????e?,???,?????共面，?,???,?????）量e，使?·e=常数，所以?从而（??0,??0,??0,所以?????????????=0。反之，若（?,?,?）=0，则?平行于固定平面，设固定平面的法矢为e，则有

?????????e?0，从而?·e= p (常数)，所以r＝r(s)为一般螺线。

????????方法三：曲线r＝r(s)为一般螺线?存在常向量e使??e，即??e?0????????,???,????)?0 。 r平行于一固定平面?(?平行于固定平面（以e为法向量的平面）???rrr?????????e?常方法四：\?\设r＝r(s)为一般螺线，存在常向量e使??e=常数，即r....???????????????????????数，连续三次求微商得r?e?0,r?e?0，r?e?0 ，所以(r,r,r)?0。

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微分几何主要习题解答

....??????????\?\因为(r,r,r)?0，所以??r平行于固定平面，设固定平面的法矢为n（常向

????????量），则r?n，而???r?,???n，所以曲线为一般螺线。

10. 证明一条曲线的所有切线不可能同时都是另一条曲线的切线。

??证 设曲线Γ与?在对应点有公共的切线，且Γ的表达式为：r＝r(s) ，则?：

??r(s)??(s)?(s)，???????????０，其切向量为?＋?k?应与?平行，所以'＝?＋??k＝０，从而曲线Γ为直线。同理曲线?为直线，而且是与Γ重合的直线。所以作为

非直线的两条不同的曲线不可能有公共的切线。

11．设在两条曲线Γ、?的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行，且它们的挠率和曲率都成比例，因此如果Γ为一般螺线, 则?也为一般螺线。

????证 设曲线Γ：r=r(s)与?：r?r(s)点建立了一一对应，使它们对应点的切

?????ds???线平行，则适当选择参数可使?(s)=?(s), 两端对s求微商得?, 即

ds?????dsds?k?(s)?k?(s) ，这里?0，所以有?=?，即主法线平行，从而?(s)=?(s)，

dsds?ds?ds?, 或?即两曲线的副法线也平行。且???。?(s)=?(s)两边对s求微商得ds?ds??dsds?ds???????(s)????(s)，于是 ???,或?，所以，? 或?。

dsds?ds????

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