考研数学强化班高等数学讲义-汤家凤[精品文档] 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/24 0:07:31星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第一讲 极限与连续

主要内容概括(略) 重点题型讲解

一、极限问题

类型一:连加或连乘的求极限问题 1.求下列极限: (1)lim???1?11??????; n??1?33?5(2n?1)(2n?1)??nk3?1(2)lim?3;

n??k?2k?1(3)lim[n??1]n; ?k?1k(k?1)n2.求下列极限: (1)lim???111?; ?????222n???4n?24n?n??4n?13.求下列极限:

?111(1)lim?????22n???n2?22n2?n2?n?1n??; ??(2)limn??n!; nn(3)lim1。 ?2n??i?1i?1n?n类型二:利用重要极限求极限的问题 1.求下列极限:

xxx(n?1)n?11sin(1)limcoscos2?cosn(x?0); (2)lim; nn??n??222nn2.求下列极限: (1)lim1?sinxx?0?121?cosx?;

(3)lim??1?tanx?x?x?01?sinx??13ln(1?2x); (4)lim?cos?;

?x???1?x?x2类型三:利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题 1.求下列极限:

etanx?ex1?tanx?1?sinx(1)lim; (2)lim;

x?0x?0x(1?cosx)x(1?cosx)(3)limx?012?cosxx11[()?1]lim(?); ; (4)322x?03xxtanx(3?x)x?3x(5)lim; 2x?0xln(1?(6)设limx?0f(x))sinx?A,求limf(x)。

x?0x2ax?1cosx?ex?0x3sinx?x222.求下列极限:lim

类型四:极限存在性问题:

1.设x1?1,xn?1?1?xn?0,证明数列{xn}收敛,并求limxn。

n??2.设f(x)在[0,??)上单调减少、非负、连续,an??f(k)??f(x)dx(n?1,2,?),证明:

k?11nnliman存在。

n??类型五:夹逼定理求极限问题:

sinnxdx; 1.求lim?n??01?x12.lim(a?b?c)(a,b,c非负);

n??nn1nn?x2?n3.limn1?x???2??(x?0)。 n????类型六:含参数的极限问题: 1.设lim(xsin3x?axx?0?3?2n?b)?0,求a,b;

?x2?1?2.设lim??ax?b)???3,求a,b; x???x?1??类型七:中值定理法求极限: 1、limn(arctann??2?n?arctan12x?1?n?1);

2、limx(ex???212x?1?e)。

类型八:变积分限函数求极限:

x2?0ecostdt?x?21、lim。

x?0(x?tanx)(x?1?1)xt?2、设f(x)连续,且f(1)?1,则limx?11x1f(xt)dtx3?1。

二、连续与间断的判断

?ln(1?x),x?0?x??1.设f(x)??0,x?0,讨论函数f(x)在x?0处的连续性。

??1?x?1?x,?1?x?0?x?11?x?x2.讨论f(x)??(2?1)(2?1),x?0在x?0处的连续性。

??1,x?0三、连续性命题的证明

1.设f(x)?C[a,??)且limf(x)存在,证明f(x)在[a,??)上有界。

x???2.设f(x)在[a,b]上连续,任取p?0,q?0,证明:存在??(a,b),使得

pf(a)?qf(b)?(p?q))f(?)。

第二讲 微分学

第一部分 一元函数微分学

内容复习(略) 重点题型讲解

(一)与导数定义相关的问题

f(x0??h)?f(x0??h)(???0)。

h?0hf(x)?2,求f?(1)。 2.设f(x)在x?1处连续,且lim2x?1x?11.设f?(x0)存在,求lim3.设f(x)在(??,??)上有定义,对任意的x,y有f(x?y)?f(x)f(y),且f?(0)?1,求

f(x)。

f(x)ef(x)?ex?1,f??(0)?e,则lim?______。 4.设f(x)二阶连续可导,且lim2x?0x?0xx5.设f(x)在(??,??)上有定义,且对任意的x有f(x?1)?2f(x),又当x?[0,1]时,有