初中数学二次函数难题 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/25 14:25:49星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

一.选择题(共2小题) 1.如图,已知动点P在函数y=

(x>0)的图象上运动,PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N,线段PM、PN分

别与直线AB:y=﹣x+1交于点E,F,则AF?BE的值为( )

A. 4

B. 2

C. 1

D.

考点: 反比例函数综合题。 专题: 动点型。 分析:

由于P的坐标为(a,

),且PN⊥OB,PM⊥OA,那么N的坐标和M点的坐标都可以a表示,那么BN、

NF、BN的长度也可以用a表示,接着F点、E点的也可以a表示,然后利用勾股定理可以分别用a表示

AF,BE,最后即可求出AF?BE.

解答:

解:∵P的坐标为(a,∴N的坐标为(0,∴BN=1﹣

),且PN⊥OB,PM⊥OA,

),M点的坐标为(a,0),

在直角三角形BNF中,∠NBF=45°(OB=OA=1,三角形OAB是等腰直角三角形), ∴NF=BN=1﹣

),

∴F点的坐标为(1﹣

同理可得出E点的坐标为(a,1﹣a), ∴AF2=(﹣∴AF2?BE2=

)2+(

)2=

,BE2=(a)2+(﹣a)2=2a2,

?2a2=1,即AF?BE=1.

故选C.

点评: 本题的关键是通过反比例函数上的点P来确定E、F两点的坐标,进而通过坐标系中两点的距离公式得出所

求的值.

2.如图,抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点(点A在点B的左侧),动点P从A点出发,先到达抛物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点F,最后运动到点B.若使点P运动的总路径最短,则点P运动的总路径的长为( )

A.

B.

C.

D.

考点: 二次函数综合题。 分析:

首先根据题意求得点A与B的坐标,求得抛物线的对称轴,然后作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点

A′,作点B关于x轴的对称点B′,连接A′B′,则直线A′B′与x=的交点是E,与x轴的交点是F,而且易

得A′B′即是所求的长度.

解答: 解:如图

∵抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点, ∴x2﹣x﹣=x﹣2, 解得:x=1或x=, 当x=1时,y=x﹣2=﹣1, 当x=时,y=x﹣2=﹣,

∴点A的坐标为(,﹣),点B的坐标为(1,﹣1),

∵抛物线对称轴方程为:x=﹣=

作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′,作点B关于x轴的对称点B′, 连接A′B′,

则直线A′B′与x=的交点是E,与x轴的交点是F, ∴BF=B′F,AE=A′E,

∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′, 延长BB′,AA′相交于C,

∴A′C=++(1﹣)=1,B′C=1+=, ∴A′B′=

=

. .

∴点P运动的总路径的长为

故选A.

点评: 此题考查了二次函数与一次函数的综合应用.注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键,还要注意数

形结合与方程思想的应用.

二.解答题(共28小题) 6.(2004?长沙)如图,等腰梯形ABCD,AD∥BC,AD=3cm,BC=7cm,∠B=60°,P为下底BC上一点(不与B、C重合),连接AP,过P作∠APE=∠B,交DC于E. (1)求证:△ABP∽△PCE; (2)求等腰梯形的腰AB的长;

(3)在底边BC上是否存在一点P,使得DE:EC=5:3?如果存在,求BP的长;如果不存在,请说明理由.

考点: 等腰梯形的性质;解分式方程;三角形的外角性质;相似三角形的判定与性质。 专题: 几何综合题。

分析: (1)欲证△ABP∽△PCE,需找出两组对应角相等;由等腰梯形的性质可得出∠B=∠C,根据三角形外角

的性质可证得∠EPC=∠BAP;由此得证;

(2)可过作AF⊥BC于F,由等腰梯形的性质得到AF是BC、AD差的一半,在Rt△ABF中,根据∠B的度数及BF的长即可求得AB的值;

(3)在(2)中求得了AB的长,即可求出DE:EC=5:3时,DE、CE的值.设BP的长为x,进而可表示出PC的长,然后根据(1)的相似三角形,可得出关于AB、BP、PC、CE的比例关系式,由此可得出关于x的分式方程,若方程有解,则x的值即为BP的长.若方程无解,则说明不存在符合条件的P点.

解答: (1)证明:由∠APC为△ABP的外角得∠APC=∠B+∠BAP;

∵∠B=∠APE ∴∠EPC=∠BAP ∵∠B=∠C

∴△ABP∽△PCE;

(2)解:过A作AF⊥BC于F;

∵等腰梯形ABCD中,AD=3cm,BC=7cm,

∴BF=

Rt△ABF中,∠B=60°,BF=2; ∴AB=4cm;

(3)解:存在这样的点P.