内容发布更新时间 : 2024/11/14 15:35:17星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

求不定方程整数解的常用方法

不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数，整数或正整数等)的方程或方程组。不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一。我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理。一般常用的求不定方程整数解的方法包括：

(1)分离整数法

此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解.

x?5例1 求不定方程?y?0的整数解

x?2解 已知方程可化为

x?5x?2?3x?233 y? ????1?x?2x?2x?2x?2x?23因为y是整数，所以也是整数.

x?2由此

x+2=1，-1，3，-3，即 x=-1，-3，1，-5， 相应的y?4,0,2,0.

所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0).

(2)辗转相除法

此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下：

第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式); 第二步，缩小未知数的范围，就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内，便于下一步讨论;

第三步，用辗转相除法解不定方程.

例2 求不定方程37x?107y?25的整数解. 解 因为(37,107)?125,所以原方程有整数解.

用辗转相除法求特解:

107?37?2?33,37?33?1?4,33?4?8?1 从最后一个式子向上逆推得到

37?(?26)?107?9?1

所以

37?(?26?25)?107?(9?25)?25 则特解为

?x??26?25??650 ?0

?y0?9?25?225通解为

?x??650?107t??8?107(t?6) ?,t?Z

y?225?37t?3?37(t?6)?或改写为

?x??8?107t ?,t?Z.

?y?3?37t

(3)不等式估值法

先通过对所考查的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，再解这些不等式得到未知数的取值范围.

例3 求方程

111???1适合x?y?z的正整数解. xyz解 因为

x?y?z 所以

所以

1111111 ??????

zxyzzzz111?? xyz即

13 ?1?

zz所以

1?z?3 所以z?2或z?3. 当z?2时有

111?? xy2 2

所以

所以

所以2?y?4

所以y?3或y?4,相应地x?6或4; 当z?3时有

所以

所以

122?? y3y11111???? yxyyy112?? xy3112?? y2y11111???? yxyyy所以y?3,y?3;相应地x?3. 所以(x,y,z)?(6,3,2),(4,4,2),(3,3,3).

(4)逐渐减小系数法

此法主要是利用变量替换，使不定方程未知数的系数逐渐减小，直到出现一个未知量的系数为?1的不定方程为止，直接解出这样的不定方程(或可以直接能用观察法得到特解的不定方程为止，再依次反推上去）得到原方程的通解.

例4 求不定方程37x?107y?25的整数解. 解 因为(37,107)?125，所以原方程有整数解. 有37?107，用y来表示x，得

x?25?107y?1?3y??12?4y

3737则令

?12?4y ?m?Z,即4y?37m?12

37 3