内容发布更新时间 : 2024/12/23 13:22:26星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第2课时 实际问题与二次函数（2）

※教学目标※ 【知识与技能】

将生活实际问题转化为数学问题，进一步体验二次函数在生活中的应用. 【过程与方法】

通过对生活中实际问题的探究,体会数学在生活实际中的广泛应用，发展数学思维. 【情感态度】

感受数学在生活中的应用，激发学生学习热情，体验解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和探索精神. 【教学重点】

利用二次函数解决有关拱桥问题. 【教学难点】

建立二次函数的数学模型. ※教学过程※ 一、问题导入

问题 为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒． （1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；

（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？ （3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？

答案 解：（1）由题意，得y?700?20?x?45???20x?1600.

（2）P=?x?40???20x?1600???20x2?2400x?64000??20?x?60??8000，∵x≥45，a=-20＜0，∴当x=60时，P最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元.

（3）由题意，得?20?x?60??8000?6000.解得x1?50，x2?70．

∵抛物线P??20?x?60??8000的开口向下，∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元.又x≤58，∴50≤x≤58.∵在y??20x?1600中，k??20＜0，∴y随x的增大而减小.∴当x=58时，y最小值=-20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒. 二、探索新知

探究 图中是抛物线形拱桥，当拱桥离水面2m时，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？ 提问

（1）石拱桥桥拱的形状可以近似地看成是抛物线吗？ （2）将本体转化为二次函数问题，需要求出二次函数解析式，根据题中条件，求二次函数解析式的前提是什么？

（3）题中“水面下降1m的含义是什么？”水面下降的同时水面宽度有什么变化？如何求宽度增加多少？

解决问题：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立坐标系.设这条抛

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2221物线表示的二次函数为y?ax2.由抛物线经过点（2，-2），可得?2?a?22，a??.这条

21抛物线表示的二次函数为y?x2.

2当水面下降1m时，水面的纵坐标为-3.

请你根据上面的函数解析式求出这时的水面宽度. 水面下降1m时，水面宽度增加 m. 26?4三、巩固练习

1.如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的 两端拴于立柱与铁结合处，绳子自然下垂呈抛物线状态，一身高0.7米的小女孩站在离立柱0.4米处，其头刚好触上绳子，则绳子最低点到地面的距离为多少米？ 2.如图，一位篮球运动员甲在距篮球筐下4米处跳起投篮，球的运行线路为抛物线，当球运行到水平距离为2.5米时达到最高高度为3.5米，然后准确地落入篮筐，已知篮圈中心到地面的高度为3.05米，该运动员的身高为1.8米．

（1）在这次投篮中，球在该运动员的头顶上方0.25米处出手，则当球出手时，该运动员离地面的高度为多少米？

（2）运动员乙跳离地面时，最高能摸到3.3米运动员乙在运动员甲与篮板之间的什么范围内能在空中截住球？

答案：1.如图所示，以O为坐标原点，水平方向为x轴，垂直方向

??为y轴，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y?ax2?a?0?.设A，B，D三点坐标依次为（xA，yA），（xB，yB），（xD，yD）.

?1?8.0，xB?0.8，由题意，得AB=1.6，∴xA??又可得xD????1.6?0.4?=-0.4.

?2?∴当x??0.8时，yA=a???0.8??0.64a,当x??0.4时，yD?a.???0.?4?0.1a6∵

yA?yD?2.2?0.7?1.5，∴0.64.∴a?a?0.16a?1.5222525.∴抛物线的解析式为y?x2.当88x??0.4时，yD?252???0.4??0.5，∴0.7?0.5?0.2（m）. 82.（1）设抛物线的解析式为y?ax2?3.5.∵（1.5，3.05）在抛物线上， ∴3.05?a?1.52?3.5.解得a??0.2.∴y??0.2x2?3.5.当x??2.5时，y?2.25， ∴运动员离地面的高度为2.25?0.25?1.8?0.2（m）.

（2）由题意,得y?3.3，则3.3??0.2x2?3.5.解得x1?1，x2??1.∴4?1?3（m）.∴乙在运动员甲与篮板之间的距离甲3米范围内能在空中截住球. 四、归纳小结

1.运用二次函数解决实际问题的一般步骤：审题；建立数学模型；求抛物线解析式；解决实际问题.

2.数形结合思想的运用. ※布置作业※

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从教材习题22.3中选取. ※教学反思※

本课时的教学应注意建立正确的直角坐标系，使类似于抛物线的实际问题转化为平面直角坐标系中的抛物线.教学时，教师仍可采用分步设问的形式让学生回答并让学生互相交流.教师应鼓励学生用多种方法建立平面直角坐标系，并求出相应抛物线的解析式，在这一过程中让学生体验探究发现的乐趣，体会数学的最优化思想.

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