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2019-2020年高考数学一轮复习第4章平面向量第3讲平面向量的数
量积及应用学案
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 数量积的有关概念
→
角；范围是0°≤θ≤180°.
2．a与b的夹角为90度时，叫a⊥b.
3．若a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ. 4．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. 5．a在b的方向上的投影为|a|cosθ.
6．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，夹角为θ，则|a|＝x1＋y1，cosθ＝2
2
→
1．两个非零向量a与b，过O点作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ，叫做向量a与b的夹
x1x2＋y1y2
. 222
x2＋y·x＋y1122
a⊥b?x1x2＋y1y2＝0. a∥b?x1y2－x2y1＝0.
考点2 数量积满足的运算律
已知向量a，b，c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律： 1．a·b＝b·a.
2．(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． 3．(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
[必会结论]
1．设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则e·a＝a·e＝|a|cosθ；
2．当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝a或|a|＝a；
3．a·b≤|a||b|.
[考点自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积是一个向量．( )
(2)向量在另一个向量方向上的投影也是向量．( )
(3)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角．( ) (4)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( )
2
2
(5)(a·b)·c＝a·(b·c)．( ) (6)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)×
2．[2018·重庆模拟]已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( )
915A．－ B．0 C．3 D. 22答案 C
解析 因为2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.选C.
3．[2017·全国卷Ⅰ]已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2, |b|＝1，则|a＋2b|＝________.
答案 23
解析 解法一：|a＋2b|＝?a＋2b?
2
＝a＋4a·b＋4b
＝2＋4×2×1×cos60°＋4×1 ＝12＝23.
解法二：(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，
→
如图，则|a＋2b|＝|OC|.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝23.
4．[2018·济南模拟]已知向量|b|＝3，a·b＝－12, 则向量a在向量b方向上的投影是________．
答案 －4
解析 因为向量|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是－4.
5．[2016·北京高考]已知向量a＝(1，3)，b＝(3，1)，则a与b夹角的大小为________．
答案
π 6
2
2
22a·b－12
＝＝|b|3
解析 a·b＝23，∴cos〈a，b〉＝
a·b233
＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]，∴|a||b|2×22
π
〈a，b〉＝. 6
→→
6．[课本改编]已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为
→→
________；DE·DC的最大值为________．
答案 1 1
解析 以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．则D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，
→→
→→
＝a≤1.故DE·DC的最大值为1.
板块二 典例探究·考向突破 考向
平面向量数量积的运算
→→
C(0,1)．设E(1，a)(0≤a≤1)，所以DE·CB＝(1，a)·(1,0)＝1，DE·DC＝(1，a)·(0,1)
1
例 1 (1)[2016·山东高考]已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.
3若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( )
99
A．4 B．－4 C. D．－
44答案 B
n2
解析 因为n⊥(tm＋n)，所以tm·n＋n＝0，所以m·n＝－，又4|m|＝3|n|，所以
t2
m·n4m·n41
cos〈m，n〉＝＝＝，所以t＝－4.故选B. 2＝－|m|·|n|3|n|3t3
(2)[2017·北京高考]已知点P在圆x＋y＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，→→
则AO·AP的最大值为________．
答案 6
2
2
解析 解法一：根据题意作出图象，如图所示，A(－2,0)，P(x，y)． 由点P向x轴作垂线交x轴于点Q，则点Q的坐标为(x,0)． →→→
→→→
2
2
AO·AP＝|AO||AP|cosθ，
|AO|＝2，|AP|＝?x＋2?＋y， cosθ＝＝→
→
2
2
AQAPx＋2
?x＋2?＋y2
2
，
所以AO·AP＝2(x＋2)＝2x＋4.
点P在圆x＋y＝1上，所以x∈[－1,1]．
→
→
2
2
所以AO·AP的最大值为2＋4＝6.
解法二：如图所示，因为点P在圆x＋y＝1上， 所以可设P(cosα，sinα)(0≤α＜2π)，
→→
→
→
所以AO＝(2,0)，AP＝(cosα＋2，sinα)，
AO·AP＝2cosα＋4≤2＋4＝6，
当且仅当cosα＝1，即α＝0，P(1,0)时“＝”号成立． 触类旁通
向量数量积的两种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
【变式训练1】 (1)[2018·湖北模拟]已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，→→
则向量AB在CD方向上的投影为( )
A.
3231532315
B. C．－ D．－ 2222