内容发布更新时间 : 2024/12/27 7:53:10星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

热传导方程的差分格式 第2页

一维抛物方程的初边值问题

分别用向前差分格式、向后差分格式、六点对称格式，求解下列问题：

?u?2u?a2,?t?x0?x?1,

u(x,0)?sin?x,u(0,t)?u(1,t)?0,0?x?1 t?0

2在t?0.05,0.1和0.2时刻的数值解，并与解析解u(x,t)?e??tsin(?x)进行比较。

1差分格式形式

设空间步长h?1/N, 时间步长?（1）向前差分格式

该问题是第二类初边值问题（混合问题），我们要求出所需次数的偏微商的函数

?0，T?M?，网比r??/h2.

?u?2uu(x,t)，满足方程?a2,?t?x及边值条件u(0,t)?u(1,t)?0,

0?x?1,和初始条件u(x,0)?sin?x,，0?x?1t?0。

已知sin?x在相应区域光滑，并且在x?0,l与边值相容，使问题有唯一充分光滑的

解。 直

取空间步长h?1/N，和时间步长??T/M，其中N,M都是正整数。用两族平行线

x?jx?(jh0?,j1,和

tN?tk?k?(k?0,1,,M)将矩形域

G?{0?x?1,t?0}分割成矩形网络，网络格节点为(xj,tk)。以Gh表示网格内点集合，

即位于矩形G的网点集合；Gh 表示闭矩形G的网格集合；?h?Gh?Gh是网格界点的集合。

向前差分格式，即

?1uk?ukjj??akkukj?1?2uj?uj?1h2?fi （1）

fi?f(xi)，

kku0j??j??(xj),u0?uN?0

其中，j?1,2,?,N?1,k?1,2,?,M?1.以r?a?/h表示网比。（1）式可改写成如下：

?1kkuk?rukjj?1?(1?2r)uj?ruj?1??fj

2此格式为显格式。

其矩阵表达式如下：

r?1?2r??u1j??u1j?1????j??j?1?1?2r?r??u2??u2?????????? ???????jj?1r1?2rr??uN?1??uN?1???j??j?1??r1?2r????uN??uN?（2）向后差分格式

向后差分格式，即

?1uk?ukjj?1k?1?1uk?ukj?1?2ujj?1??ah2?fj,

（2）

kku0j??j??(xj),u0?uN?0,

其中j?1,2,?,N?1,k?1,2,?,M?1.（2）式可改写成

?1k?1?1k?ruk?rukj?1?(1?2r)ujj?1?uj??fj

此种差分格式被称为隐格式。

其矩阵表达式如下：

?r?1?2r??u1j?1??u1j????j?1??j???r1?2r??u2??u2?????????? ???????j?1j?r1?2r?r??uN?1??uN?1???j?1??j???r1?2r????uN??uN?（3）六点对称格式

六点差分格式：

?1uk?ukjjk?1k?1k?1kkkauj?1?2uj?uj?1uj?1?2uj?uj?1?[?]?fj （3） 222hh?kku0j??j??(xj),u0?uN?0.

热传导方程的差分格式 第4页

将（3）式改写成

r?1rk?1rkrkk?1k?uk?(1?r)u?u?u?(1?r)u?uj?1??fj j?1jj?1j?1j2222其矩阵表达式如下:

?1?r?r/2??u1j?1??1?rr/2??u1j????j?1????j???r/21?r??u2??r/21?r??u2??????????????????????j?1j?r/21?r?r/2??uN?1??r/21?rr/2??uN?1???j?1???j???r1?2r?r/21?2r????uN????uN?2利用MATLAB求解问题的过程

对每种差分格式依次取N?40.，?=1/1600，?=1/3200，?=1/6400，用

求解并图形比较数值解与精确解，用表格列出不同剖分时的L2误差。 向前差分格式： t?0.05:

?=1/1600：

MATLAB

??1/3200:

??1/6400:

t?0.1:

??1/3600: