二次函数与平行四边形综合 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/23 9:02:20星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第十八讲二次函数与平行四边形综合

一、教学内容

1.二次函数的表示,二次函数图像与性质; 2.平行四边形的性质和判定;

3.函数图像与平行四边形的综合应用,典型应用、图像题; 二、例题细看

3【例1】 已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y??x?6与x轴、y轴的交点分 别为A、B,

4将?OBA对折,使点O的对应点H落在直线AB上,折痕交x轴于点C. (1)直接写出点C的坐标,并求过A、B、C三点的抛物线的解析式;

(2)若抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;

Q为线段BT上一点,直接写出QA?QO的取值(3)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T,范围.

【考点分析】二次函数综合题 y

B

H

1

Cx OA1

D T

【PEC分析】(1)点A的坐标是纵坐标为0,得横坐标为8,所以点A的坐标为(8,0);

点B的坐标是横坐标为0,解得纵坐标为6,所以点B的坐标为(0,6); 由题意得:BC是∠ABO的角平分线,所以OC=CH,BH=OB=6 ∵AB=10,∴AH=4,设OC=x,则AC=8-x由勾股定理得:x=3

∴点C的坐标为(3,0)将此三点代入二次函数一般式,列的方程组即可求得;

(2)求得直线BC的解析式,根据平行四边形的性质,对角相等,对边平行且相等,借助于三函数即可求得;

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(3)如图,由对称性可知QO=QH,|QA-QO|=|QA-QH|.当点Q与点B重合时,Q、H、A三点共线,

|QA-QO|取得最大值4(即为AH的长);设线段OA的垂直平分线与直线BC的交点为K,当点Q与

点K重合时,|QA-QO|取得最小值0.

【跟踪练习】例1.(浙江义乌市) 如图,抛物线y?x?2x?3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2.

(1)求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式; (2)P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值; (3)点G是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由. A

【例2】 如图,点O是坐标原点,点A(n,0)是x轴上一动点(n?0).以AO为一边作矩形AOBC,点C在

第二象限,且OB?2OA.矩形AOBC绕点A逆时针旋转90?得矩形AGDE.过点A的直线y?kx?m(k?0)交y轴于点F,FB?FA.抛物线y?ax2?bx?c过点E、F、G且和直线AF交于点H,过点H作HM?x轴,垂足为点M. ⑴ 求k的值;

⑵ 点A位置改变时,?AMH的面积和矩形AOBC 的面积的比值是否改变?说明你的理由.

y CB GD FM OxAE H

【PEC分析】(1)由题意知OB=2OA=2n,在直角三角形AEO中,OF=OB-BF=-2n-AF,因此可用勾股定理求出AF的表达式,也就求出了FB的长,由于F的坐标为(0,m)据此可求出m,n的关系式,可用n替换掉一次函数中m的值,然后将A点的坐标代入即可求出k的值.

(2)思路同(1)一样,先用n表示出E、F、G的坐标,然后代入抛物线的解析式中,得出a,b,c与n的函数关系式,然后用n表示出二次函数的解析式,进而可用n表示出H点的坐标,然后求出△AMH的面积和矩形AOBC的面积进行比较即可.

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【跟踪练习】(1)在图1,2,3中,给出平行四边形ABCD的顶点A,B,D的坐标(如图所示),写出图1,2,3中的顶点C的坐标,它们分别是(5,2), , ;

y y y y B(c,d) C B(c,d) B(1,2) B(c,d) CC C D(e,f)

A(a,b) D(e,b) xxx

O (A) O (A) O D(4,0) D(e,0) A(a,b) x 图1 图2 图3 O

(2)在图4中,给出平行四边形ABCD的顶点A,B,D的坐标(如图所示),求出顶点C的坐标图(4 C点坐标用含a,b,c,d,e,f的代数式表示);

归纳与发现

(3)通过对图1,2,3,4的观察和顶点C的坐标的探究,你会发现:无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置,当其顶点坐标为A(a,b),B(c,d),C(m,n),D(e,f)(如图4)时,则四个顶

点的横坐标a,c,m,e之间的等量关系为 ;纵坐标b,d,n,f之间的等量关系为 运用与推广

?15??19?c,c?,S?c,c?,?22??22?H(2c,0)(其中c?0).问当c为何值时,该抛物线上存在点P,使得以G,S,H,P为顶点的四边形是平行四边形?并求出所有符合条件的P点坐标.

(4)在同一直角坐标系中有抛物线y?x?(5c?3)x?c和三个点G??2

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