内容发布更新时间 : 2024/12/23 1:30:42星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

习题1

???1-1．已知质点位矢随时间变化的函数形式为r=R(cosωti?sinωtj) 其中解：(1) 由r（1）质点的轨道；(2)速度和速率。 ?为常量．求：

???=R(cosωti?sinωtj)，知：x?Rcos?t ，y?Rsin?t

消去t可得轨道方程：

x2?y2?R2

????dr?（2）由v?，有速度：v???Rsin?ti??Rcos?tj

dt1?222??R。 而v?v，有速率：v?[(??Rsin?t)?(?Rcos?t)]

∴质点的轨道为圆心在（0，0）处，半径为R的圆；

????4t2i?(3?2t)j，式中r的单位为m，t的单位为s。

求：（1）质点的轨道；（2）从t?0到t?1s的位移；（3）t?0和t?1s两时刻的速度。

???22解：（1）由r?4ti?(3?2t)j，可知x?4t ，y?3?2t

2 消去t得轨道方程为：x?(y?3)，∴质点的轨道为抛物线。

????????（2）从t?0到t?1s的位移为：?r?r(1)?r(0)?(4i?5j)?3j?4i?2j

????dr?（3）由v?，有速度：v?8ti?2j

dt?????t?0和t?1秒两时刻的速度为：v(0)?2j，v(1)?8i?2j。

???2?1-3．已知质点位矢随时间变化的函数形式为r?ti?2tj，式中r的单位为m，t的单位为s.求：（1）

1-2．已知质点位矢随时间变化的函数形式为r?任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。

?????dv????dr解：(1)由v?，有：v?2ti?2j，a?，有：a?2i；

dtdt1?222?2t2?1 （2）而v?v，有速率：v?[(2t)?2]∴at?dv?dt2tt2?1，利用

2有： an?a2?at2?a2?at2?an2。

2t?1

1-4．一升降机以加速度上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为h，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。

a解法一：以地面为参照系，坐标如图，设同一时间内螺钉下落的距离为机上升的高度为

y1，升降

y2，运动方程分别为

1y1?h?v0t?gt2 （1）

21

1y2?v0t?at2 （2）

2相遇时y1=y2 即得：

t?2hg?a。

解法二：以升降机为非惯性参照系，则重力加速度修正为利用h

1-5．一质量为

g'?g?a，

?122hg?t，有：t??2g?2hg?a。

m的小球在高度h处以初速度v0水平抛出，求：

h（1）小球的运动方程；

（2）小球在落地之前的轨迹方程；

y??drdvdv（3）落地前瞬时小球的，，。

dtdtdt解：（1）如图，可建立平抛运动学方程：

v0??11?x?v0t ，y?h?gt2 ，∴r?v0ti?(h?gt2)j； O22gx2（2）联立上面两式，消去t得小球轨迹方程：y??； ?h（为抛物线方程）

22v0????12?dr?gt)j，∴（3）∵r?v0ti?(h??v0i?gtj， 2dt????dv?即：v?v0i?gtj，??gj

dt???dr2h在落地瞬时，有：t?，∴?v0i?2ghj

dtgxg2ghg2tdv??v?v?v?(?gt)，∴又∵ v? 。

2dt[v2?(gt)2]12v0?2gh02x2y202

1-6．路灯距地面的高度为h1，一身高为h2的人在路灯下以匀速v1沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度v2.

证明：设人向路灯行走，t时刻人影中头的坐标为

x1，足的坐标为x2， 2

h1h2x1x2O由相似三角形关系可得：

x1?x2h2?x1h1，

h1x2

h1?h2dx1h1dx2dx2两边对时间求导有： ，考虑到：??v1，

dth1?h2dtdtdx2h1知人影中头的速度：v影?。 ?v1（常数）

dth1?h2∴x1?

1-7．一质点沿直线运动，其运动方程为

x?2?4t?2t2(m)，在 t从0到3s的时间间隔内，质点走过的

路程为多少？

解：由于是求质点通过的路程，所以需考虑在0~3s的时间间隔内，质点速度为0的位置：

v?dx?4?4t 若v?0 解得 t?1s， dt?x1?x1?x0?(2?4?2)?2?2m

?x3?x3?x1?(2?4?3?2?32)?(2?4?2)??8m

?x??x1??x2?10m。

1-8．一弹性球直落在一斜面上，下落高度h?20cm，斜面

?30，问它第二次碰到斜面的位置距原来的对水平的倾角

下落点多远(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时人射角等于反射角)。

解：小球落地时速度为0，建立沿斜面的直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图示，

??v?2ghvx0?v0cos600→

1x?v0cos600t?gcos600t2 （1）

21vy0?v0sin600→ y?v0sin600t?gsin600t2 （2）

22v0第二次落地时：y?0，代入（2）式得：t?，

g22v012?2gh002所以：x?v0cos60t?gcos60t???4h?80cm。

2gg

3