内容发布更新时间 : 2024/7/4 12:42:42星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

考点07 指数与指数函数

（1）了解指数函数模型的实际背景.

（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.

（3）理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点. （4）知道指数函数是一类重要的函数模型.

一、指数与指数幂的运算 1．根式

（1）n次方根的概念与性质

概念 一般地，如果xn?a，那么x叫做a的n次方根，其中n?1，n?Ν?. ①当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.n 次 方 性质 根 这时，a的n次方根用符号na表示. ②当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号?na表示.正的n次方根与负的n次方根可以合并写成?na(a?0).负数没有偶次方根. ③0的任何次方根都为0，记作n0?0. （2）根式的概念与性质

概念 式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. n?①(na)?a(n?1,且n?N). 根 式 性质 ②当n为奇数时，a?a. nn?a,a?0③当n为偶数时，a?a??. ?a,a?0?nn【注】速记口诀：

正数开方要分清，根指奇偶大不同， 根指为奇根一个，根指为偶双胞生． 负数只有奇次根，算术方根零或正， 正数若求偶次根，符号相反值相同． 负数开方要慎重，根指为奇才可行， 根指为偶无意义，零取方根仍为零．

2．实数指数幂 （1）分数指数幂

①我们规定正数的正分数指数幂的意义是a?a(a?0,m,n?N,且n?1). 于是，在条件a?0,m,n?N*,且n?1下，根式都可以写成分数指数幂的形式.

②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定

mnnm*a?mn?1amn(a?0,m,n?N*,且

n?1).

③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （2）有理数指数幂

规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r,s，均有下面的运算性质： ①aa?arsrsr?s(a?0,r,s?Q)；

②(a)?a(a?0,r,s?Q)； ③(ab)?ab(a?0,b?0,r?Q). （3）无理数指数幂

对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数幂来理解，由于无理数是无限不循环小数，因此可以取无理数的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它，最后我们也可得出无理数指数幂是一个确定的实数.

一般地，无理数指数幂a(a?0,?是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.

?rrrrs二、指数函数的图象与性质 1．指数函数的概念

一般地，函数y?a(a?0,且a?1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 【注】指数函数y?a(a?0,且a?1)的结构特征： (1)底数：大于零且不等于1的常数； (2)指数：仅有自变量x； (3)系数：ax的系数是1.

2．指数函数y?a(a?0,且a?1)的图象与性质

xxx0?a?1 a?1 图象 定义域 值域 奇偶性 对称性 过定点 单调性 函数值的变化情况 R (0,??) 非奇非偶函数 函数y=a?x与y=ax的图象关于y轴对称 过定点(0,1)，即x?0时，y?1 在R上是减函数 当x?0时，y?1； 当x?0时，0?y?1 在R上是增函数 当x?0时，y?1； 当x?0时，0?y?1 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中底数对图象的影响 0