内容发布更新时间 : 2024/12/22 19:58:32星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

角平分线有关的辅助线

角平分线是天然的涉及对称的模型，通常有下列四种作辅助线的方法： （1）角平分线+两边垂线→全等三角形：

角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边距离相等；

已知：AD平分∠BAC，CD⊥AC，垂足为C，过点D作DB⊥AB，垂足为B； 辅助线：过点D作DB⊥AB，垂足为B； 结论：① △ACD≌△ABD；② CD= DB

（角分线垂两边，对称全等必呈现）

（2）角平分线+垂线模型 等腰三角形必呈现：

遇到垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形；

已知：OP平分∠AOB，MP⊥OP，垂足为P，延长MP交OB于点N； 结论：① △OPM≌△OPN ；

② △OMN为等腰三角形； ③ P是MN的中点（三线合一）；

（3）在角的两边上截取相等的线段，构造全等三角形： 已知：OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点；

辅助线：在OA上取一点E，在OB取一点F，使得OE=OF，并连接DE， 结论：△OED≌△OFD ；

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（4）作平行线

① 以角分线上一点作角的另一边的平行线，则△OAB等腰三角形；

② 过一边上的点作角平分线的平行线与另一边的反向延长线相交，则△ODH等腰三角形； 已知：OP平分∠MON，AB∥ON， 已知：OC平分∠AOD，DH∥OC， 结论： △OAB等腰三角形 结论： △ODH等腰三角形

一、角平分线模型应用

1.角平分线+两边垂线→全等三角形 辅助线：过点G作GE?射线AC

已知：AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AC，DB⊥AB， 求证：CD=DB

证明：∵AD是∠BAC的角平分线，

∴∠1=∠2，

∵CD⊥AC，DB⊥AB， ∴∠ACD=∠ABD=90°， 在△ACD和△ABD中，

?∠1=∠2??∠ACD=∠ABD=90?AD=AD?∴△ACD≌△ABD（AAS） ∴CD=BD

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例1：已知：∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC．

例2：如图，AB＞AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，过D作DE⊥AB、DF⊥AC， 垂足分别为E、F．求证：BE=CF． 例3：如图，在△ABC中，AC＞AB，M是BC中点，AN平分∠BAC，若AN⊥BD且交BD的延长线于点D， 求证：MN=

例4：如图，在△ABC中，M为BC的中点，DM⊥BC，DM与∠BAC的角平分线交于点D，

DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE=CF．

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1（AC-AB）. 2