内容发布更新时间 : 2024/12/22 18:02:25星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

§2.4 二次函数与幂函数

1.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0). ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0). (2)二次函数的图象和性质

解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 值域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) ?4ac－b，＋∞? ?4a?2?－∞，4ac－b? 4a??2单调性 b?－∞，－b?上单调递增；－∞，－?上单调递减；在x∈? 在x∈ 2a?2a???b－，＋∞?上单调递增 在x∈??2a?b－，＋∞?上单调递减 在x∈??2a?对称性 2.幂函数 b函数的图象关于x＝－对称 2a(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. (2)幂函数的图象比较

(3)幂函数的性质比较

特征 函 数 性质 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R且x≠0} {y|y∈R且y≠0} 奇函数 x∈(0，＋∞) 增 增 时，减；x∈(－∞，0)时，减 y＝x y＝x2 y＝x3 1y＝x 2y＝x1 －值域 奇偶性 R 奇函数 [0，＋∞) 偶函数 x∈[0，＋∞)R 奇函数 [0，＋∞) 非奇非偶函数 单调性 增 时，增；x∈(－∞，0]时，减

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 4ac－b2

(1)二次函数y＝ax＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.

4a

2

( × ) ( × ) ( × ) ( × ) ( × ) ( × )

(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数. (3)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0).

(4)当n>0时，幂函数y＝xn是定义域上的增函数.

2

(5)若函数f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上单调递增，则k＝±.

2(6)已知f(x)＝x2－4x＋5，x∈[0,3)，则f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(3)＝2. 2.(2013·重庆改编)?3－a??a＋6?(－6≤a≤3)的最大值为________. 9答案

2

解析 因为?3－a??a＋6?＝18－3a－a2 ＝

381a＋?2＋， －??2?4

39

所以当a＝－时，?3－a??a＋6?的值最大，最大值为. 22

3.已知函数f(x)＝x2－2ax＋2a＋4的值域为[1，＋∞)，则a的值为________. 答案 －1或3

解析 由题意知最小值为2a＋4－a2＝1. 由2a＋4－a2＝1，解得a＝－1或3.

4.已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________. 答案 [1,2]

解析 y＝x2－2x＋3的对称轴为x＝1. 当m<1时，y＝f(x)在[0，m]上为减函数. ∴ymax＝f(0)＝3，ymin＝f(m)＝m2－2m＋3＝2. ∴m＝1，无解.

当1≤m≤2时，ymin＝f(1)＝12－2×1＋3＝2， ymax＝f(0)＝3.

当m>2时，ymax＝f(m)＝m2－2m＋3＝3， ∴m＝0或m＝2，无解.∴1≤m≤2.

5.若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不经过原点，则实数m的值为________. 答案 1或2

?m2－3m＋3＝1?

解析 由?2，解得m＝1或2.

??m－m－2≤0

经检验m＝1或2都适合.

题型一 二次函数的图象和性质

例1 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]. (1)当a＝－2时，求f(x)的最值；

(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间.

思维启迪 对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用.

解 (1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]， ∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，

∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.

(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4. (3)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，

∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，

2??x＋2x＋3，x∈?0，6]

且f(x)＝?2，

?x－2x＋3，x∈[－6，0]?

∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]， 单调递减区间是[－6,0].

思维升华 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区