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2019-2020年高中数学选修2-1双曲线的标准方程

教学目标

（1）了解双曲线的标准方程，能根据已知条件求双曲线的标准方程； （2）能用双曲线的标准方程处理简单的实际问题． 教学重点，难点

（1）重点：双曲线的定义、标准方程；

（2）难点：灵活运用定义和待定系数法求双曲线的标准方程． 教学过程 一．问题情境 1．情境：

我们知道，椭圆上的点到两个定点的距离的和等于常数．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为． 2．问题：

双曲线上的点到两个定点距离的差的绝对值等于常数，那么，双曲线的标准方程是什么形式呢？ 二．学生活动

设双曲线的焦距为，双曲线上任意一点到焦点，的距离的差的绝对值等于常数．

以，所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系（如图），则，的坐标分别为．

设为双曲线上任意义点，根据双曲线定义知，即

2(c2?a2)x2?a2y2?a2(c2?a2)． (x?c)?2y?(x?2)c?2y．化简，得?2a∵，∴令，得，两边除以，得．

由上述过程可知，双曲线上的点的坐标都满足上面这个方程，并且满足上面这个方程的点都在已知的双曲线上． 三．建构数学

双曲线的标准方程：

焦点在轴上的双曲线的标准方程：， 焦点在轴上的双曲线的标准方程：其中 思考：怎样推导出焦点在轴上的双曲线标准方程？ 说明：（1）双曲线的标准方程是与选择的坐标系有关的，当且仅当选择对称轴为坐标轴时有其标准形式．

（2）两个标准方程的区别：与的系数符号决定了焦点所在的坐标轴，当系数为正时焦点在轴上，当的系数为正时焦点在轴上，而与分母的大小无关． （3）以坐标轴为对称轴的双曲线可用方程表示． 四．数学运用 1．例题：

例1．已知双曲线的两个焦点分别为，双曲线上一点到，的距离的差的绝对值等于，求双曲线的标准方程．

解 由题意，可设双曲线的标准方程为． 因为 ，所以a?4,b2?c2?a2?52?42?9 因而所求双曲线的标准方程为．

[变式]将条件中绝对值去掉，求双曲线的标准方程． 例2．求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1），焦点在轴上； （2），经过点，焦点在轴上．

解 （1）依题意，且焦点在轴上，所以双曲线方程为

?a?25,?（2）焦点在轴上的双曲线方程可设为，由，且经过点，可得?254解得．因此，所求

?2?2?1,?ab双曲线的方程为．

[变式]上题可不明确焦点所在的坐标轴．

例3．已知两地相距，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处迟，设声速为．（1）爆炸点在什么曲线上？（2）求这条曲线的方程．

解 （1）设为爆炸点，由题意得MA?MB?340?2?680．因为爆炸点离点比离点距离更远，所以爆炸点在以为焦点且距较近的双曲线的一支上．（如图） （2）如右图，以直线为轴，线段的垂直平分线为直角坐标系．设为曲线上一点．由，得．由，得．∴． ∵，∴．

x2y2因此，所求曲线的方程为115600?44400?1(x?0)．

五．回顾小结：

1．双曲线的标准方程；

2．用定义和待定系数法求双曲线的方程．

轴建立