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第一章习题 B
36．若AΔB=AΔC，则B=C．
证一：（反证）不妨设，?x0?B,且x0?C
1) x0?A,则x0?AΔB，x0?AΔC这与AΔB=AΔC矛盾 2) x0?A，则x0?AΔB，x0?AΔC这与AΔB=AΔC矛盾 所以假设不成立，即B=C．
证二：A??A?B???A\\?A?B?????A?B?\\A???A?B???B\\A??B 同理A??A?C??C，现在已知A?B?A?C故上两式左边相等，从而B?C． 37．集列{An}收敛?{An}的任何子列收敛．
证 由习题8集列?An?收敛?特征函数列?An收敛，由数分知识得数列
?????收敛????的任一子列??AnAnAnj?均收敛，又由习题8可得?A?收敛．
njnn38．设An?{m/n:m?Z}(n?1,2?),则limAn=Z，limAn=Q．
证 显然有Z?limAn?limAn?Q
nn1） 假设?x?Q\\Z,使x?limAn
n∴?N>0,当n>N时，有x?An，特别地， x?An，x?An?1 ∴?m1,m2?Z,使x=从而m2?m1?m1mmm,x=2 ∴1=2 nn?1nn?1m1,这与m2?Z矛盾，所以假设不成立，即：limAn=Z．
nnm n2）?x?Q,则?m,n?Z,使得x=
m?nkmm?n∴x==2=…=k?1=…
nnn∴x?Ank,(k=1,2…),从而x?limAn ∴limAn=Q．
nn39．设0
n证 ?x?(0,1]
1) ∵ 0
n2) 假设?y>1,使y?lim[an,bn]，则y属于集列{[an,bn]}中的无限多个集
n合．又因为y>1, bn?1 ，故?N?0,当n>N时，有bn
n显然，?y?(??，0]有y?lim[an,bn],故lim[an,bn]?(0,1].
nn综上所述，lim[an,bn]=(0,1]．
n40．设fn：X?R（n??）, fn??A(n??),求limX(fn?1/2)．
n解 1）?x0?A，fn??A( n??)，故fn(x0)??A(x0)?1( n??)． ∴?N?0,当n>N时，有fn(x0)?1/2．
∴当n>N时，x0?X(fn?1/2)，从而x0?limX(fn?1/2)．
nc2）?x0?A，fn??A( n??)，故fn(x0)??A(x0)?0( n??)．
∴?N?0,当n>N时，有fn(x0)?1/3．
∴x0?limX(fn?1/2) ∴ limX(fn?1/2)=A
nn41．设{An}为升列，A?UAn，对任何无限集B?A,存在n使BIAn为无限集，则A含于某个An．
证 假设A不含于任何An中,又{An}为升列，
则对n?1，?x1?A\\A1，由于A??An，故?n1?N，使x1?An1，即
x1?An1\\A1；对n?2，?x2?A\\A2，又A??An故?n2?N使
x2?An2?An2?1??．于是可取n2?n1使x2?An2\\A2?．因此对n?i，
?ni?ni?1，xi?Ani\\Ai．
令B={x1, x2,… xi …}，则B?A且B为无限集，
但?i,BIAni={x1, x2,… xi }为有限集，这与已知条件矛盾． ∴假设不成立，即A含于某个An中．
42.设f:2x?2x，当A?B?X时f(A) ?f(B)，则存在A?X使
f(A)=A．
证 因为f?X??X，故子集族P0?X??B?2??X:f?B??B非空，令
?A??B?P0X??B??X，下证：
1?f?A??A，即要证A?P0?X?．首先由定义A?B对每个B?P0?X?成
立，那么由已知就有f?A??f?B?对一切B?P0?X?成立，从而
f?A??B?P0X??f??B????B??A．
B?P0X?2再证A?f?A?．为此，由A的定义，只要能证f?A??A0?P0?X?就可
??以了．但从1已证的A0?f?A??A，又由已知f的单调性应有
f?A0??f?f?A???f?A??A0，故确定A0?P0?X?．
43.设X是无限集，f:X?X，则有X的非空真子集A，使f(A)?A．
证 ?x1?X，若x1?x2，令x2=f( x1)
若x2?x3 ，令x3=f(x2)… 若xn?xn?1，令xn?f(xn?1)…
1）若存在xi?xi?1，则令A={x1,x2,…xi }，显然f(A)?A． 2）若不存在xi?xi?1,则令A={x1,x2,…xi,…}，显然f(A)?A．
44.设|A|>1,则有双射f:A?A,使得?x?A: f(x)?x；当|A|=偶数或|A|??时可要求f(f(x))=x (?x?A)．
证 （1）|A|=2n+1, n?N,则A={x1,x2,…x2n+1 }，作映射: