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2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学（理科）

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2016年浙江，理1，5分】已知集合P??x?R|1?x?3?，Q??x?R|x2?4?，则P??eRQ?（ ）

（A）?2,3? （B）??2,3? （C）?1,2? （D）???,?2???1,??? 【答案】B 【解析】即有eRQ??x?R|?2?x?2?，则P??eRQ????23,Q??x?R|x2?4???x?R|x?2或x??2?，

故选B． ?，

【点评】本题考查集合的运算，主要是并集和补集的运算，考查不等式的解法，属于基础题． （2）【2016年浙江，理2，5分】已知互相垂直的平面?，?交于直线l．若直线m，n满足m//?，n??，则

（ ）

（A）m//l （B）m//n （C）n?l （D）m?n 【答案】C

【解析】∵互相垂直的平面?，?交于直线l，直线m，n满足m//?，∴m//?或m??或m??，l??，

∵n??，∴n?l，故选C．

【点评】本题考查两直线关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． （3）【2016年浙江，理3，5分】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由

?x?2?0?区域?x?y?0中的点在直线x?y?2?0上的投影构成的线段记为AB，则AB?（ ）

?x?3y?4?0?（A）22（B）4（C）32 （D）6

【答案】C

【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），区域内的点在直线x?y?2?0

?x?3y?4?0?x??1上的投影构成线段R?Q?，即SAB，而R?Q??RQ，由?得?，

x?y?0y?1???x?2?x?2即Q??1,1?，由?得?，即R?2,?2?，

?x?y?0?y??2则AB?QR???1?2?2??1?2??9?9?32，故选C．

2【点评】本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义以及数形结合是解决本

题的关键．

（4）【2016年浙江，理4，5分】命题“?x?R，?n?N?，使得n?x2”的否定形式是（ ）

（A）?x?R，?n?N?，使得n?x2 （B）?x?R，?n?N?，使得n?x2 （C）?x?R，?n?N?，使得n?x2 （D）?x?R，?n?N?，使得n?x2 【答案】D 【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“?x?R，?n?N?，使得n?x2”的否定形式是：?x?R，

?n?N?，使得n?x2，故选D．

【点评】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需

要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．

（5）【2016年浙江，理5，5分】设函数f?x??sin2x?bsinx?c，则f?x?的最小正周期（ ） （A）与b有关，且与c有关 （B）与b有关，但与c无关

（C）与b无关，且与c无关 （D）与b无关，但与c有关 【答案】B

【解析】∵设函数f?x??sin2x?bsinx?c，∴c是图象的纵坐标增加了c，横坐标不变，故周期与c无关，

1

112?当b?0时，f?x??sin2x?bsinx?c??cos2x??c的最小正周期为T???，当b?0时，

22211f?x???cos2x?bsinx??c，∵y?cos2x的最小正周期为?，y?bsinx的最小正周期为2?，

22∴f?x?的最小正周期为2?，故f?x?的最小正周期与b有关，故选B．

【点评】本题考查了三额角函数的最小正周期，关键掌握三角函数的图象和性质，属于中档题． （6）【2016年浙江，理6，5分】如图，点列?An?、?Bn?分别在某锐角的两边上，且

（P?Q AnAn?1?An?1An?2，An?An?1，n?N?，BnBn?1?Bn?1Bn?2，Bn?Bn?1，n?N?，表示点P与Q不重合）若dn?AnBn，Sn为?AnBnBn?1的面积，则（ ） （A）?Sn?是等差数列 （B）?Sn2?是等差数列

（C）?dn?是等差数列 （D）?dn2?是等差数列 【答案】A

【解析】设锐角的顶点为O，OA1?a，OB1?b，AnAn?1?An?1An?2?b，

BnBn?1?Bn?1Bn?2?d，由于a，b不确定，则?dn?不一定是等差数列，

?d?不一定是等差数列，设?ABB2nnnn?1的底边BnBn?1上的高为hn，由三角

形的相似可得式相加可得，

a??n?1?bhnOAnhOAn?2a??n?1?b???，n?2?，两hn?1OAn?1a?nbhn?1OAn?1a?nbhn?hn?22a?2nb1??2，即有hn?hn?2?2hn?1，由Sn?d?hn，可得Sn?Sn?2?2Sn?1， hn?1a?nb2即为Sn?2?Sn?1?Sn?1?Sn，则数列?Sn?为等差数列，故选A．

【点评】本题考查等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性质，考查化简整理的推理能力，属于

中档题．

x2x22（7）【2016年浙江，理7，5分】已知椭圆C1:2?y?1?m?1?与双曲线C1:2?y2?1?n?0?的焦点重合，e1，

mne2分别为C1，C2的离心率，则（ ） （A）m?n且e1e2?1 （B）m?n且e1e2?1 （C）m?n且e1e2?1 （D）m?n且e1e2?1 【答案】A

x2x22【解析】∵椭圆C1:2?y?1?m?1?与双曲线C1:2?y2?1?n?0?的焦点重合，∴满足c2?m2?1?n2?1，

mn即m2?n2?2?0，∴m2?n2，则m?n，排除C，D，则c2?m2?1?m2，c2?n2?1?n2，则c?m．

ccc22cc?c?，则?e1e2????c?n，e1?，e2?，则e1?e2???nmmnmn?m?m2n2??m2?n2??12222c2c2?m?1??n?1??c?????2?2? 22nmnmn??m2?n2?12?11??1??1?22?1?22?1，∴e1e2?1，故选A． 2222mnmnmnmn【点评】本题主要考查圆锥曲线离心率的大小关系的判断，根据条件结合双曲线和椭圆离心率以及不等式的性质

进行转化是解决本题的关键．考查学生的转化能力．

（8）【2016年浙江，理8，5分】已知实数a，b，c（ ）

22?2c?100（B）?2c?100 （A）若a2?b?c?a?b2?c?1，则a2?b若a2?b?c?|a2?b?c|?1，则a2?b22?2c?100（D）?2c?100 （C）若a?b?c2?|a?b?c2|?1，则a2?b若a2?b?c?|a?b2?c|?1，则a2?b【答案】D

【解析】A．设a?b?10，c??110，则a2?b?c?a?b2?c?0?1，a2?b2?c2?100；B．设a?10，b??100，

c?0，则a2?b?c?|a2?b?c|?0?1，a2?b2?c2?100；C．设a?100，b??100，c?0，则

a?b?c2?|a?b?c2|?0?1，a2?b2?c2?100，故选D．

【点评】本题主要考查命题的真假判断，由于正面证明比较复杂，故利用特殊值法进行排除是解决本题的关键．

2

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

（9）【2016年浙江，理9，6分】若抛物线y2?4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是 ． 【答案】9

【解析】抛物线的准线为x??1，∵点M到焦点的距离为10，∴点M到准线x??1的距离为10，∴点M到y轴

的距离为9．

【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题． （10）【2016年浙江，理10，6分】已知2cos2x?sin2x?Asin??x????b?A?0?，则A? ，b? ． 【答案】2；1

?2?2????A?2，【解析】∵2cos2x?sin2x?1?cos2x?sin2x?1?2?cos2x?sin2x?1?2sin2x?????1，?2?24????b?1．

【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用，熟练掌握公式是解题的关键． （11）【2016年浙江，理11，6分】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积

23

是 cm，体积是 cm． 【答案】72；32

【解析】由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2cm的小正方体所构成的，

则其表面积为22??24?6??72cm2，其体积为4?23?32． 【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积和表面积，解题的关键是判断几何体

的形状及相关数据所对应的几何量，考查空间想象能力．

5bb? ． a?ba，（12）【2016年浙江，理12，4分】已知a?b?1，若logab?o则a? ，glba?，

2【答案】4；2

515120?，【解析】设t?logba，由a?b?1知t?1，代入logab?logba?得t??，即2t2?5t?解得t?2或t?

2t22（舍去），所以logba?2，即a?b2，因为ab?ba，所以b2b?ba，则a?2b?b2，解得b?2，a?4．

【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．

n?N*，an?1?2Sn?1，（13）【2016年浙江，理13，4分】设数列?an?的前n项和为Sn，若S2?4，则a1? __，

S5? __．

【答案】1；121

【解析】由n?1时，a1?S1，可得a2?2S1?1?2a1?1，又S2?4，即a1?a2?4，即有3a1?1?4，解得a1?1；

由an?1?Sn?1?Sn，可得Sn?1?3Sn?1，由S2?4，可得S3?3?4?1?13，S4?3?13?1?40，

S5?3?40?1?121．

【点评】本题考查数列的通项和前n项和的关系：n=1时，a1=S1，n＞1时，an=Sn﹣Sn﹣1，考

查运算能力，属于中档题．

（14）【2016年浙江，理14，4分】如图，在?ABC中，AB?BC?2，?ABC?120?．若平

面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD?DA，PB?BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 ．

1【答案】

2【解析】如图，M是AC的中点．①当AD?t?AM?3时，如图，此时高为P到BD的距离，

也就是A到BD的距离，即图中AE，DM?3?t，由?ADE∽?BDM，可得 h?1t?3?t?2，h??1t?3?t?2?111，V???23?t?1?32??t?3?t?2??113??6?3?t?2?3?t?2,t?0,3

?1??②当AD?t?AM?3时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，

3