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九年级数学数与式复习华东师大版

【同步教育信息】

一. 本周教学内容： 数与式复习

二. 重点、难点：

教学重点：实数的有关概念与实数的运算；代数式概念运算以及简单应用，代数式的恒等变形及化简求值。

教学过程： 知识点回顾： （一）实数

1. 实数的有关概念 [知识要点] （1）实数分类

???正整数???整数?零???负整数?有理数???? 实数? ???分数?正分数????负分数????无理数——无限不循环小数 实数还可以分为：正实数、零、负实数；有理数还可以分为：正有理数、零、负有理

数。解题中需考虑数的取值范围时，常常用到这种分类方法。特别要注意0是自然数。 （2）数轴

数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。实数与数轴上的点是一一对应的，这种一一对应关系是数学中把数和形结合起来的重要基础。在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （3）绝对值

?a(a?0)? 绝对值的代数意义：|a|??0(a?0)

??a(a?0)? 绝对值的几何意义：一个数的绝对值是这个数在数轴上的对应点到原点的距离。 （4）相反数、倒数

相反数以及倒数都是成对出现的，零的相反数是零，零没有倒数。“任意一对相反数的和是零”和“互为倒数的两个数的积是1”的特性常作为计算与变形的技巧。 （5）三种非负数

2 |a|、a、a（a?0）形式的数都表示非负数。“几个非负数的和（积）仍是非负数”

与“几个非负数的和等于零，则必定每个非负数都同时为零”的结论常用于化简求值。 （6）平方根、算术平方根、立方根的概念 2. 实数的运算

[知识要点]

（1）实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算，整数指数幂的运算。

（2）有理数的运算法则在实数范围仍然适用；实数的运算律、运算顺序。 （3）加法及乘法的运算律可用于实数运算的巧算。

（4）近似数的精确度、有效数字、科学记数法的形式为a?10（其中1?|a|?10，n为整数）。

（5）实数大小的比较：两个实数比较大小，正数大于零和一切负数；两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小。常用方法：①数轴图示法。②作差法。③平方法等。

（二）代数式

1. 代数式概念、运算以及简单应用 [知识要点]

（1）代数式的分类

n??单项式????整式??有理式????多项式? 代数式? ????分式???无理式 （2）各类代数式的概念

单项式、多项式、整式、分式、有理式、二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念。

（3）代数式有意义的条件

分式有意义的条件是分式的分母不为零；分式的值为零的条件是分母不为零，分子为零。

二次根式有意义的条件是被开方数为非负数。 由实际意义得到的代数式还要符合实际意义。 （4）代数式的运算

整式的加、减、乘、除、乘方运算，整式的添括号、去括号法则；分式的加、减、乘、除四则运算；二次根式的加、减、乘、除四则运算。 2. 代数式的恒等变形 [知识要点]

（1）添括号、去括号、拆项是代数式恒等变形的常用方法。

（2）公式可正用、逆用、变用，因此公式可用于代数式恒等变形，特别是乘法公式，它是代数式恒等变形的重要工具。

（3）因式分解是多项式乘法的逆变形，常作为代数式恒等变形的工具使用。因式分解主要有两种基本方法：提取公因式法，运用公式法。要注意方法的灵活选取和综合运用。 （4）待定系数法、配方法等都可应用代数式的恒等变形。特别要注意待定系数法使用的前提条件是“恒等式”。 3. 代数式的化简求值 [知识要点]

（1）含有绝对值的代数式的化简，通常可利用数轴的直观性。

（2）整式化简求值时要注意以下两点：①运用公式时，要从全局出发，有时要把某个

部分看成一个整体；②灵活运用配方、换元、整体代换等方法。

（3）分式的化简求值一般可先对分子、分母的多项式因式分解、约分，再运用分式的性质化简计算。

（4）在给定字母的取值范围的情况下，对二次根式进行化简。

【典型例题】

2 例1. 已知x、y是实数，且满足（x?4）?2 解：因为(x?4)?0，y?1?0 2 又(x?4)?y?1?0，求x+2y的值。

y?1?0

2 所以(x?4)?0，y?1?0

所以x?4，y?1 所以x?2y?4?2?1?6

说明：这是一个条件求值问题，利用非负数的性质可求出x、y的值，从而问题可解。

例2. 2003年10月15日9时10分，我国“神舟”五号载人飞船准确进入预定轨道，16日5时59分，返回舱与推进舱分离，飞船返回地面，期间飞船绕地球共飞行了14圈，飞行路程约为60万千米，用平常记数法表示，结果保留三位有效数字，则“神舟”五号飞船绕地球平均每圈约飞行（ ） A. 4.28?10千米 C. 4.28?1?千米

54

4

B. 4.29?10千米 D. 4.29?10千米

54 简析：60万千米?600000千米，600000?14?42857，42857保留三位有效数字用科学记数法表示为4.29?10。 解：选B。

说明：运用近似数和有效数字表示生活中的数据问题，是新课标的主要内容之一。本题综合运用了近似数、有效数字、科学记数法等知识。

例3. 计算：

22121）?（?1）?（?）2??（?15.2） 3232221221 解：（）?（?1）?（?）??（?15.2）

323243419??（?）???92924 （

?

431?（??1?）9224??（?2）9

??89

说明：进行计算时，首先要注意观察题目中有哪几种运算，思考有无简便方法，然后确定运算顺序。注意遇到同一级运算时，应按自左向右的顺序进行计算，并要随时检查运算结果的符号。

例4. 比较下列实数大小： （1）?199与?；（2）35与42 2814 解：（1）解1（作差法）：

19919?9?21????0 28142828199 所以 ?2814199 因此???

2814 因为 解2（作商法）：

19191419 因为28????1

92891814199 所以 ?2814199 因此???

2814 （2）解1（平方法）：

22 因为（35）?45，（43）?48

又45?48，35?0，43?0 所以35?43

解2（比较被开方数法）： 因为35? 又48?45 所以48?32?5?45，43?42?3?48

45

因此43?35

说明：比较两个分数的大小，还可以化为小数或同分子的分数、同分母的分数来比较。

例5. 分解因式：

（1）2（1?x）?6a（x?1）； （2）16x?（x?4）； （3）xy?8xy?16y。

解：（1）2（1?x）?6a（x?1）

23223422223?2（x?1）2[1?3a（x?1）]?2（x?1）（3ax?3a?1）2

（2）16x2?（x2?4）2?（4x）2?（x2?4）2 ?（4x?x?4）（4x?x?4）

22??（x2?4x?4）（x2?4x?4）??（x?2）2（x?2）2（3）x2y2?8xy3?16y4

?y2（x2?8xy?16y2）?y[x?8xy?（4y）]?y2（x?4y）2222

说明：在解题前应先观察题目特征，灵活选取分解方法，往往一题有几种解法或一题需要综合运用几种方法。分解因式一定要彻定。

11?23，求x4?4的值。 xx11422 解：x?4?（x?2）?2

xx1?[（x?）2?2]2?2x22 ?[（23）?2]?2

例6. 已知x??102?2?98 说明：此题是反复运用完全平方公式，把x?使问题得解。这是条件求值问题的一个基本思路。

例7. 当x取何值时，下列分式有意义？分式的值等于零？

411变形为关于的代数式，从而x?xx4x2?3x?2 （1）2

x?2x?3 简析：当分母等于零时，分式没有意义，此外分式都有意义；当分子等于零时，并且分母不等于零时，分式的值等于零。

x2?3x?2 （2）当分母x?2x?3?0，即x?1且x??3时，分式2有意义。

x?2x?32??x?3x?2?0?1? 解：根据题意，得?2

??x?2x?3?0?2? 由?1?解得x?1或x?2

2 由?2?解得x?1且x??3

x2?3x?2 所以，当x=2时，分式2的值等于零。

x?2x?3 说明：（1）讨论分式有无意义时，一定对原分式进行讨论，而不能先化简，再对化简后的分式讨论。

（2）讨论分式的值何时为零必须在分式有意义的前提下进行。