内容发布更新时间 : 2024/12/25 21:14:17星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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待定系数法 常数变异法 幂级数法 特征根法 升阶法 降阶法
关键词：微分方程，特解，通解，
二阶齐次线性微分方程
常系数微分方程 待定系数法
d2xdxL?x??2?a1?a2x?0, (1)解决常系数齐次线性微分方程dtdt
这里a1,a2是常数.
(1.1)特征方程
F(?)??2?a1??a2?0
(1)特征根是单根的情形
设
?1,?2,L,?n是特征方程的 (1.1)的2个彼此不相等的根，则相应的方程 (1)有如
下2个解：
e?1t,e?2t (1.2)
如果?i(i?1,2)均为实数，则 (1.2)是方程 (1)的2个线性无关的实值解，而方程
(1)的通解可表示为 x?c1e?1t?c2e?2t
如果方程有复根，则因方程的系数是实系数，复根将成对共轭出现。设
?????i是一特征根，则?????i也是特征根，因而与这对共轭复根对应，方程 (1)有两个复值解
e(???i)t?e?t(cos?t?isin?t), e(???i)t?e?t(cos?t?isin?t).
它们的实部和虚部也是方程的解。这样一来，对应于特征方程的一对共轭复根
????i?，我们可求得方程 (1)的两个实值解
e?tcos?t,e?tsin?t.
（2）特征根有重跟的情形
??0 (1)的k个线性无关的解1,t,t2,Ltk?1。k1重零根，对应于方程 若特征方程的
??0,设特征根为?1,?2,L,?m,其重数为若这个k重零根1k1,k2,L,km(k1?k2?Lkm?2)。方程
(1)的解为
e?1t,te?1t,Ltk1?1e?1t;e?2t,te?2t,Ltk2?1e?2t;L;e?mt,te?mt,Ltkm?1e?mt;
对于特征方程有复重根的情况，譬如假设????i?是k重特征根，则????i?也是k重特征根，可以得到方程 (1)的2k个实值解
:e?tcos?t,te?tcos?t,t2e?tcos?t,L,tk?1e?tcos?t,e?tsin?t,te?tsin?t,t2e?tsin?t,L,tk?1e?tsin?t.
d2x?x?02dt的通解。
例1 求方程
解 特征方程
解为
?2?1?0的根为?1?1,?2??1有两个实根，均是单根，故方程的通
x?c1et?c2e?t,
这里
c1,c2是任意常数。
d2x?x?0dt2的通解。
例2 求解方程 解 特征方程
为
?2?1?0的根为?1?i,?2??i有两个复根，
均是单根，故方程的通解
x?c1sint?c2cost,
这里
c1,c2是任意常数。
某些变系数线性齐次微分方程的解法 （一）化为常系数
1.在自变量变换下，可化为常系数的方程 一类典型的方程是欧拉方程
d2ydyx?ax?a2y?0(2)12dxdx
2这里a1,a2为常数，它的特点是y的k阶导数（k=0,1,2,规定y(0)=y）的系数是x的k次方乘以常数.我们想找一个变换，使方程(2)的线性及齐次性保持不变，且把变系数化为常系
t?(t)?ex??(t)x本身的特点，我们选取自变量的变换数。根据方程，并取，即
变换
x?et(t?lnx) (2.1)
?tx??ex?0x?0，当时，取，以后为确定起见，就可以达到上述目的（这里设
认为x?0）。 事实上，因为
dydydtdy??e?tdxdtdxdt
2d2yd?tdydtdy?2tdy?(e)?e(?)22dxdtdtdxdxdt
代入方程
(2)，则原方程变为
d2ydy?(a?1)?a2y?o(2.2)12dtdt
方程
(2.2)常系数二阶线性微分方程，由 上可求得方程的通解。再变换
(2.1)，
代回原来的变量，就得到原方程(2)的通解。
d2ydyx?5x?4y?0例 求方程dx2dx的通解
2解 此方程为欧拉方程，令
x?et，则由(2.2)知，原方程化为
d2ydy?4?4y?o(2.3)dt2dt
其特征方程为
?2?4??4?0
特征根为?1??2??2，故方程(2.3)的通解为
y?(c1?c2t)e?2t
换回原自变量x，则原方程的通解为
y?(c1?c2lnx)x?2
2.在未知函数的线性齐次变换下，可化为常系数的方程 现在考虑二阶变异系数线性方程
d2ydy?P(x)?P2(x)y?0(2.4)12dxdx
的系数函数
P1(x),P2(x)满足什么条件时，可经适当的线性齐次变换
y?a(x)z(2.5)
化为常系数方程。这里a(x)是待定函数。 为此，把(2.5)代入方程(2.4)，可得到
a(x)z''?[2a'x?P1(x)a(x)]z'?[a''(x)?P1(x)a'(x)?P2(x)a(x)]z?0(2.6)
欲使(2.6)为常系数线性齐次方程，必须选取a(x)使得z''、z'及z的系数均为常数。特别地，令z的系数为零，即
'2a'?P1(x)a?0 可求得
a(x)?e??1P1(x)dx2
再代入(2.6)，整理之，得到
121'(2.7)z''?[P2(x)?P(x)?P11(x)]z?042
由此可见，方程
y?e??1p1(x)dx2(2.4)可经线性齐次变换
gz(2.8)
化为关于z的不含一阶导数项的线性齐次方程(2.7)，且当z的系数
121'I(x)?P2(x)?P(x)?P11(x)42
(2.7)为常系数方程。
为常数时，方程
因方程(2.4)在形如(2.8)的变换下，函数I(x)的值不会改变，故称I(x)为方程
(2.4)的不变式。因此，当不变式I(x)为常数时，方程(2.4)可经变换(2.8)化为常
系数线性齐次方程。
12'''2xy?xy?(x?)y?0例求方程4的通解 11P(x)?,P(x)?1?12x4x2，因 解 这里
I(x)?1?故令
111211?()?(?)?1224x4x2x
y?e?11dx2x?gz?zx 就可把原方程化为常系数方程
z''?z?0
可求得其通解为
z?c1cosx?c2sinx
代回原变量y，则得原来方程的通解为
y?c1cosxsinx?c2xx
（二）降阶的方法 处理一般高阶微分方程的基本原则是降 阶，即利用适当的变换把高阶方程的求解问题转化为较低阶方程的求解问题。具