内容发布更新时间 : 2024/6/26 13:31:32星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
体参考常微分方程的思想与方法，这里只讨论二阶的。
d2xdx已知2?p(t)?q(t)x?0x1?0dtdt的一个特解，试求该方程的通解
，则原方程可化为一阶线性微分方程 解 作变换dy'x1??2x?p(t)x1?1?y?0,dx? 求解，得
x?x1?ydty?c11??p(t)dte,x12
所以原方程的通解为
?1?p(t)dt?x?x1?c2?c1?2e?dt?.x1??
法二
设x2是方程的任一解，则有刘维尔公式得
x1x1'x2x2'?p(t)dt?ce?
c?0，亦即
其中常数
?p(t)dtx1x2'?x1'x2?ce?.
1以积分因子x21乘上式两端，就可推出
dx2c?p(t)dt()?2e?,dtx1x1 积分上式可得到
?1?p(t)dt?x?x1?c2?c1?2e?dt?.
x?1?
例 求方程xy''?xy'?y?0的通解
解 由观察知方程有一特解y1(x)?x，令
y?xz
'''''''y?z?xz,y?2z?xz则，代入方程，得
x2z''?(2x?x2)z'?0
'z再令?u，得一阶线性齐次方程
x2u'?(2?x)xu?0
从而可得
exexu?c12,z?c1?2dx?c2xx
取
c1?1,c2?0,便得原方程的另一解
exy2?x?2dxx
显然，解
y1,y2线性无关，故方程的通解为
exy?c1x?c2x?2dx x
幂级数法
d2ydyy(x0)?y0?p(x)?q(x)y?0 (1)2及dxdx考虑二阶线性微分方程及初值
y'(x0)?y'0的情况
可设一般性，可设x0?0，否则，我们引进新变量
t?x?x0，经此变换，方程的
形式不变，但这时对应于x?x0的就是t0?0了.因此总认为x0?0.
定理 若方程则方程
(1)中的系数p(x)和q(x)都能展成x的幂级数，且收敛区间为x?R,
(1)有形如
y??anxnn?0?
x?R的特解，也以
定理 若方程则方程
为级数的收敛区间.
(1)中的系数p(x)和q(x)都能展成x的幂级数，且收敛区间为x?R,
(1)有形如
y??anxnn?0?
x?R的特解，也以
为级数的收敛区间.
定理 若方程
(1)中的系数p(x)和q(x)具有这样的性质，即xp(x)和x2q(x)都能展
成x的幂级数，且收敛区间为x?R,若a0?0，则方程(1)有形如
?y?x??axnn?0n (1.1)
的特解，
?是一个待定的常数.级数 (1.1)x?R也以
为级数的收敛区间.
例 求方程y''?2xy'?4y?0的满足初值条件y(0)?0及y'(0)?1的解
解 设
y?a0?a1x?a2x2?????anxn?L
(1.2)
为方程的解.利用初值条件，可以得到
a0?0,a1?1,
因而
y?x?a2x2?????anxn?L
y'?1?2a2x?3a3x2?????nanxn?1?L y''?2a2?3g2a3x?????n(n?1)anxn?2?L
将
y,y',y''的表达式代入原方程，合并x的同次幂的项，并令各项系数等于零，得
到
a2?0,a3?1,a4?0,Lan?2an?2,Ln?1
因而
1111a5?,a6?0,a7??,a8?0,a9?,L2!63!4!
最后得
111a2k?1?g?,a2k?0,k(k?1)!k!
对一切正整数
k成立.
将ai(i?0,1,2,L)的值代回(1.2)就得到、
x5x2k?1y?x?x??L??L2!k!x4x2k2 ?x(1?x??L??L)2!k!3 =xe,x2
这就是方程满足所给初值条件的解.
例用幂级数解法求解方程y''?xy'?y?0
np(x)?1,p(x)?x,p(x)?1x?0y?ax012?0n0解 因为，所以在的邻域内有形如n?0?的
幂级数解.将
?y0,y0',y0''代入原方程，得
(2a2?a0)??[n(n?1)an?(n?1)an?2]xn?2?0.n?3
比较
x的同次幂的系数，得
2a2?a0?0,6a3?2a1?0,n(n?1)an?n(n?1)an?2?0 (n?4).解得
aa1a2??0,a3??1,a2n?(?1)nna0,232n!
(?1)na1a2n?1?.1g3g???g(2n?1) 所以，原方程的通解为
?1x2n(?1)ny?a0?(?)?a1?x2n?1,23g???g(2n?1)n?0n!n?01g
?即
y?a0e?x22(?1)n?a1?x2n?1.3g???g(2n?1)n?01g
?
方程组的消元法 在某些情形下，类似于代数方程组的消元，我们可以把多个未知函数的线性方程组化为某一个未知函数的高阶微分方程来求解 例 求解线性微分方程组
?dx?x?5y,??dt??dy?2x?y.??dx
解 从第一个方程可得