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第三章

习题3-1

1． 设s=

1２dsgt，求2dtt?2．

121g解：

dst?2g?4dt?lims(t)?s(2)2t?2?lim2t?2t?t?2t?2 ?lim1t?22g(t?2)?2g 2． 设f(x)=

1x，求f?(x0) (x0≠0)． 解：f?(x)?(1x)??(x?1)???1x2

f?(x0)??1x2(x0?0) 03．（1）求曲线y?x2上点（2，4）处的切线方程和法线方程； （2）求过点（3，8）且与曲线y?x2相切的直线方程； （3）求y?ex上点（2，e2）处的切线方程和法线方程； （4）求过点（2，0）且与y?ex相切的直线方程。

解：略。

4． 下列各题中均假定f′(x0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么：

(1) f(x0??x)?f(x0)?limx?0?x=A;

(2) f(x0)=0, xlimf(x)?x0x?x＝A； 0(3) limf(x0?h)?f(x0?h)h?0h=A．

解：(1)?f(x0??x)?f(x0)f[x0?(??limx?0?x???lim?x)]?f(x0)?x?0??x??f?(x0) ?A??f?(x0) (2)?limf(x)x??limf(x)?f(x0)x?x00?xx?x??f?(x0x?x0)

0 1

?A??f?(x0)

f(x0?h)?f(x0?h)

h?0h[f(x0?h)?f(x0)]?[f(x0?h)?f(x0)] ?lim

h?0hf(x0?h)?f(x0)f[x0?(?h)]?f(x0)?lim ?lim

h?0?h?0h?h (3)?lim ?f?(x0)?f?(x0)?2f?(x0) ?A?2f?(x0) 5． 求下列函数的导数： (1) y=x；(2) y=

13x2；(3) y=12x2?3x2x5．

解：(1)?y?x?x

121?11 ?y??(x)??x2? 22x (2)?y?x?23

235?1?2?222 ?y??(x)???x3??x3??

35333x?23?5216 (3)?y?x?x?x162?x

1?51 ?y??(x)??x6?

6566x6． 讨论函数y=3x2在x=0点处的连续性和可导性． 解：?lim3x?0?f(0)

x?03f(x)?f(0)x?01 lim?lim?lim??

32x?0x?0x?0x?0xx ?函数y?3x在x?0点处连续但不可导。

7． 试由倒数定义，证明：若f(x)为可导的奇（偶）函数，则f′(x)是偶（奇）函数。 证：?f(x)为偶函数 ?f(?x)?f(x)

2

f(x)?f(0)f(?x)?f(0) ?f?(0)?limx?0x?0?limx?0x?0

??limf(?x)?f(0)x?0?x?0??f?(0)，即2f?(0)?0 故f?(0)?0

8． 求下列函数在x0处的左、右导数，从而证明函数在x0处不可导：

(1) y＝??sinx,x?0,?x3,x?0,x0?0； (2) y=???x,x?1,?x?x2,x?1,0?1． 解：(1)?ff(x)?f(0)3??(0)?limx?0?x?0?limx?0x?0?x?lim2x?0?x?0 f??(0)?limf(x)?f(0)sinx?x?0?x?0?lim0x?0?x?1 ?f??(0)?f??(0) ?函数在x?0处不可导。

(2) ?ff(x)?f(1)2??(1)?limx?1?x?1?limx?1x?1?x?1?lim(x?1?x?1)?2 f??(1)?limf(x)?f(1)x?1?limx?111x?1?x?1?x?1?limx?1?x?1?2 ?f??(1)?f??(1)

?函数在x?1处不可导。

9． 设函数

f(x)= ??x2,x?1,x?1.

?ax?b,为了使函数f(x)在x=1点处连续且可导，a，b应取什么值?

解：为使f(x)在x?1处连续，必须f(1?0)?f(1?0)?f(1)， f(1?0)?limx?1?f(x)?lim(x?1?ax?b)?a?b f(1?0)?limf(x)?limx2x?1?x?1??1，f(1)?1 ?a?b?1?b?1?a (1) 为了使f(x)在x?1处可导，必须f??(1)?f??(1) ff(x)?f(1)??(1)?limx?1?x?1?limax?b?1x?1?x?1?limax?ax?1?x?1?a 3