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专题限时集训(十一) 附加题部分
(对应学生用书第107页)
(限时:120分钟)
1.(本小题满分10分)(2017·江苏省盐城市高考数学二模)在平面直角坐标系xOy中,直线l:3x=1+t??5?4??y=5t长.
[解] 法一:直线l的参数方程化为普通方程得4x-3y=4, 将曲线C的参数方程化为普通方程得y=4x.
?4x-3y=4,?
联立方程组?2
??y=4x,
2
??x=4k(t为参数),与曲线C:?
?y=4k?
2
(k为参数)交于A,B两点,求线段AB的
4分
?x=4,?
解得?
??y=4,
1??x=,
或?4??y=-1.
?1?所以A(4,4),B?,-1?.
?4?
25
所以AB=.
4
法二:将曲线C的参数方程化为普通方程得y=4x.
2
10分
?4?2?3?2
直线l的参数方程代入抛物线C的方程得?t?=4?1+t?,即4t-15t-25=0,
?5??5?
1525
所以t1+t2=,t1t2=-.
44所以AB=|t1-t2|=
t1+t2
2
25
-4t1t2=. 4
10分
2.(本小题满分10分)(2017·江苏省无锡市高考数学一模)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为
ρ=2,ρ2-22ρcos?θ-?=2.
4
??
π?
?
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.
π??2222
[解] (1)ρ=2?ρ=4,所以x+y=4;因为ρ-22ρcos?θ-?=2,2分
4??ππ??222
所以ρ-22ρ?cos θcos+sin θsin?=2,所以x+y-2x-2y-2=0.
44??
(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.
8分 6分
π?2?化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=1,即ρsin?θ+?=.10分 4?2?
3.(本小题满分10分)(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上学期期中)设n∈N,
*
f (n)=3n+7n-2.
(1)求f (1),f (2),f (3)的值;
(2)证明:对任意正整数n,f (n)是8的倍数. [解] (1)代入求出f (1)=8,f (2)=56,f (3)=368. (2)证明:①当n=1时,f (1)=8是8的倍数, 命题成立.
②假设当n=k时命题成立,即f (k)=3+7-2是8的倍数, 那么当n=k+1时,f (k+1)=3
因为7+1是偶数,所以4(7+1)是8的倍数, 又由归纳假设知3(3+7-2)是8的倍数, 所以f (k+1)是8的倍数, 所以当n=k+1时,命题也成立. 根据①②知命题对任意n∈N成立.
4.(本小题满分10分)利用二项式定理证明:当n∈N时,3
[解] 3
n-1
22n+2
*
2n+2
*
2分
kkk+1
+7
k+1
-2=3(3+7-2)+4(7+1),
6分
kkkkkkk10分
-8n-9能被64整除.
n+1
-8n-9=9
n+1
-8n-9=(8+1)
2
n+1
-8n-9=8
n-2
2
+Cn+1·8+Cn+1·8
n-1
1n2n-1
+…+
Cn+1·8+Cn+1·8+1-8n-9=8·(8而8
n-1
nn-1
+Cn+1·8
*
1
+Cn+1·8
2n+2
n-3
+…+Cn+1),6分
+Cn+1·8
1n-2
+Cn+1·8
2n-3
+…+Cn+1∈N,所以3
n-1
-8n-9能被64整除.10分
5.(本小题满分10分)(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知a,b,c为正实数,
b2c2a2
求证:++≥a+b+c.
abc【导学号:56394086】
[证明] ∵a,b,c为正实数,
b2c2a2
∴a+≥2b,b+≥2c,c+≥2a,
abc将上面三个式子相加得:
4分
b2c2a2
a+b+c+++≥2a+2b+2c,
abcb2c2a2
∴++≥a+b+c. abc10分
6.(本小题满分10分)(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)已知函数f (x)=|x+1|-|x|+a.
(1)若不等式f (x)≥0的解集为空集,求实数a的取值范围; (2)若方程f (x)=x有三个不同的解,求实数a的取值范围.
[解] (1)令g(x)=|x+1|-|x|,则f (x)≥0的解集为空集?g(x)≥-a的解集为空集?g(x)<-a恒成立,
-1,x<-1,??
g(x)=|x+1|-|x|=?2x+1,-1≤x<0
??1,x≥0,
,作出函数g(x)的图象,由图可知,函数
g(x)的最大值为g(x)max=1,所以-a>1,即a<-1.
综上,实数a的取值范围为(-∞,-1).
5分
(2)在同一坐标系内作出函数g(x)=|x+1|-|x|图象和y=x的图象如图所示,由题意可知,把函数y=g(x)的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)与y=x的图象始终有3个交点,从而-1<a<0.
10分
7.(本小题满分10分)(2017·江苏省淮安市高考数学二模)如图11-9,已知△ABC内接于⊙O,连接AO并延长交⊙O于点D,∠ACB=∠ADC. 求证:AD·BC=2AC·CD.
图11-9
[证明] ∵∠ACB=∠ADC,AD是⊙O的直径, ∴AD垂直平分BC,设垂足为E(图略), ∵∠ACB=∠EDC,∠ACD=∠CED, ∴△ACD∽△CED, ∴
6分
ADAC1
=,∴AD·BC=AC·CD, CDCE2
10分
∴AD·BC=2AC·CD.
8.(本小题满分10分)(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)如图11-10,直线DE切圆O于点D,直线EO交圆O于A,B两点,DC⊥OB于点C,且DE=2BE,求证:2OC=3BC.