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大学物理简明教程习题解答

习题一

drdrdvdv1-1 ｜?r｜与?r有无不同?dt和dt有无不同? dt和dt有无不同?

其不同在哪里?试举例说明．

解：（1）?r是位移的模，?r是位矢的模的增量，即?r?r2?r1，

?r?r2?r1；

drdrds（2）dt是速度的模，即dt?v?dt. drdt只是速度在径向上的分量.

???drdrdr??r?r?叫做单位矢）?（式中rdt ∵有r?rr，则dtdtdr式中dt就是速度径向上的分量， drdr与∴dtdt不同如题1-1图所示.

题1-1图

?dv?dvdva?dt，dt是加速度a在切向上的分量. (3)dt表示加速度的模，即

??v?v?(?表轨道节线方向单位矢）∵有，所以

??dvdv?d????vdtdtdt

dv式中dt就是加速度的切向分量.

???d??dr?与(dtdt的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论)

1-2 设质点的运动方程为x=x(t)，y=y(t)，在计算质点的速度和加

d2rdr222速度时，有人先求出r＝x?y，然后根据v=dt，及a＝dt而求得

结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即

22???dxdy?dxdy??????????????dt2??dt2??dtdt???? ????va =及=

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你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？

解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标

???r系中，有?xi?yj，

故它们的模即为

??drdx?dy??v??i?jdtdtdt??d2rd2x?d2y?a?2?2i?2jdtdtdt

22?dx??dy?v?v?v???????dt??dt?2x2y2而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作

drv?dtd2ra?2dt

?d2x??d2y?22a?ax?ay???dt2?????dt2??????

2drd2rdr与2其二，可能是将dtdt误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明dtd2r不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，dt2也不是加速

2?d2r?d??????a径?2?r?dtdt?????。或度的模，它只是加速度在径向分量中的一部分??者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢r在径向（即量值）方面随

??时间的变化率，而没有考虑位矢r及速度v的方向随间的变化率对速

度、加速度的贡献。

1-3 一质点在xOy平面上运动，运动方程为

1x=3t+5, y=2t2+3t-4.

式中t以 s计，x,y以m计．(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量

的表示式；(2)求出t=1 s 时刻和t＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t＝0 s时刻到t＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t＝4 s 时质点的速度；(5)计算t＝0s 到t＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．

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?1??r?(3t?5)i?(t2?3t?4)j2m 解：（1）

(2)将t?1,t?2代入上式即有

???r1?8i?0.5j m

???r2?11j?4jm

??????r?r2?r1?3j?4.5jm

??????(3)∵ r0?5j?4j,r4?17i?16j

?????????rr4?r012i?20jv????3i?5jm?s?1?t4?04∴

????drv??3i?(t?3)jm?s?1dt(4)

???v?3i?7j m?s?1 则 4??????v?3i?3j,v?3i?7j 4(5)∵ 0??????vv4?v04a????1jm?s?2?t44 ??

?dva??1jm?s?2dt(6)

这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。

1-4 在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示．当人以v0(m·s)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．

?1 图1-4

解： 设人到船之间绳的长度为l，此时绳与水面成?角，由图可知

222 l?h?s 将上式对时间t求导，得

2ldlds?2sdtdt