内容发布更新时间 : 2024/5/1 17:30:52星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第3讲 等比数列及其前n项和
【2018年高考会这样考】
1．以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定． 2．考查通项公式、前n项和公式以及性质的应用． 【复习指导】
本讲复习时，紧扣等比数列的定义，掌握其通项公式和前n项和公式，求和时要注意验证公比q是否为1；对等比数列的性质应用要灵活，运算中要注意方程思想的应用．
基础梳理
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示． 2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·q3．等比中项
若G＝a·b(ab≠0)，那么G叫做a与b的等比中项． 4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m2
n－1
.
，(n，m∈N＋)．
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.
?1??an?2
??(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{an}，{an·bn}，??仍是?an??bn?
等比数列．
(4)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为q.
5．等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn， 当q＝1时，Sn＝na1；
na11－qna1－anq当q≠1时，Sn＝＝.
1－q1－q
一个推导
利用错位相减法推导等比数列的前n项和：
Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，
同乘q得：qSn＝a1q＋a1q＋a1q＋…＋a1q，
23na11－qn两式相减得(1－q)Sn＝a1－a1q，∴Sn＝(q≠1)．
1－qn 两个防范
(1)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误． 三种方法
等比数列的判断方法有： (1)定义法：若比数列．
(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且an＋1＝an·an＋2(n∈N)，则数列{an}是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·q(c，q均是不为0的常数，n∈N)，则{an}是等比数列．
注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列．
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)在等比数列{an}中，如果公比q＜1，那么等比数列{an}是( )． A．递增数列 C．常数列
解析 当a1＞0,0＜q＜1，数列{an}为递减数列， 当q＜0，数列{an}为摆动数列． 答案 D
1
2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于( )．
411A．－ B．－2 C．2 D.
22
B．递减数列
D．无法确定数列的增减性
n*
2
*
an＋1an*
＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N)，则{an}是等anan－1
a5113
解析 由题意知：q＝＝，∴q＝.
a282
答案 D
3．在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于( )． A．4 B．8 C．16 D．32 解析 由等比数列的性质得：a2a6＝a4＝16. 答案 C
4．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝( )．
2
S5
S2
A．－11 B．－8 C．5 D．11
解析 设等比数列的首项为a1，公比为q.因为8a2＋a5＝0，所以8a1q＋a1q＝0. ∴q＋8＝0，∴q＝－2，
3
4
S5a11－q51－q∴＝· S21－qa11－q2
1－q1－－2＝2＝1－q1－4答案 A
5．(2018·广东)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.
解析 设{an}的公差为d，由S9＝S4及a1＝1，得9×1＋又ak＋a4＝0，所以?1＋答案 10
9×84×31
d＝4×1＋d，所以d＝－.226
5
5
＝－11.
?
?
k－1×?－??＋?1＋4－1×?－?66
?1???
?????1???
]＝0，即k＝10.
考向一 等比数列基本量的计算
【例1】?(2018·全国)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30.求an和Sn. [审题视点] 列方程组求首项a1和公差d.
??a1q＝6，解 设{an}的公比为q，由题设得?2
?6a1＋a1q＝30，???a1＝3，
解得?
?q＝2?
??a1＝2，
或?
?q＝3.?
，Sn＝3·(2－1)； ，Sn＝3－1.
nn当a1＝3，q＝2时，an＝3·2当a1＝2，q＝3时，an＝2·3
n－1
n－1
等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，
an，Sn一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．
【训练1】 等比数列{an}满足：a1＋a6＝11，a3·a4＝(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若该数列前n项和Sn＝21，求n的值． 32
解 (1)∵a3·a4＝a1·a6＝，
9又a1＋a6＝11，
32
，且公比q∈(0,1)． 9