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第一章复习
x.1 函数的极限及其连续性
概念：省略 注意事项
1． 无界变量与无穷大的区别：无穷大量一定是无界变量，但无界变量不一定是无穷大
量，例如，y?f(x)?xsinx是无界变量，但不是无穷大量。因为取
x?xn?2n???2时，f(xn)?2n???2，当n充分大时，f(xn)可以大于一预
先给定的正数M；取x?xn?2n?时，f(xn)?0 2． 记住常用的等价形式 当x?0时，sinx~x,arcsinx~x,ex?1~x,tanx~x,1?cosx~arctanx~x, 12x,2(1?x)??1~?x
ln(1?x)~x,
例1 当x?0时，下列函数哪一个是其他三个的高阶无穷小 （1）x。 （2）1?cosx。 （3）sinx?tanx 解：因为1?cosx~22（4）ln(1?x2)。
（）
12x,ln(1?x2)~x2，所以选择C 2ex?cosx练习 lim
x?0lncosx
ex?cosxex?1?1?cosx解 lim ?limx?0lncosxx?0ln[1?(cosx?1)]ex?11?cosx?lim?limx?0ln[1?(cosx?1)]x?0ln[1?(cosx?1)]?limx1?cosx?lim??3x?0cosx?1x?0cosx?12222
3． 若函数的表达式中包含有a?b（或a?b），则在运算前通常要在分子分母
乘以其共轭根式a?b（或a?b），反之亦然，然后再做有关分析运算 例2 求limsin(n?1?)。
n??2解 limsin(n?1?)?limsin[(n?1?n)??n?]
n??n??22激情活力 精彩学联 版权所有 违者必究
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?lim(?1)nsin(n2?1?n)??lim(?1)nsinn??n???n?1?n2
当n??时，sin?n?1?nn??2~2?n?1?n2?0,(n??)
又 |(?1)n|?1，故limsin(n?1?)?0 练习 求lim[1?2???n?1?2???(n?1)]
n??解 原式＝lim?x?n(n?1)n(n?1)?12n2??lim?? ?n??n??22?22n(n?1)?n(n?1)??1?4． lim?1???e 该极限的特点：
x???x??(1)1?型未定式 ?（2）括号中1后的变量（包括符号）与幂互为倒数?
解题方法
（1） 若极限呈1型，但第二个特点不具备，则通常凑指数幂使（2）成立 （2） 凡是1型未定式，其结果：底必定是e，幂可这样确定： 设limu(x)?0，limv(x)??，则
??lim(1?u(x))v(x)?limev(x)ln(1?u(x))?elimv(x)ln(1?u(x))?elimv(x)[?u(x)]?e?limv(x)u(x)
1?u(x))~?u(x)。 这是因为 ln(11??例3 求lim?cos?sin?。
x??xx????11??2?2?解 原式＝lim??cos?sin???lim?1?sin?
x??x??xx??x??????2x2xx因为limsinx??2x??limx2x??2xx2xsin2x?1，所以原极限＝e。
1x练习 求lim???e?e???ex?0n?nx???。 ?激情活力 精彩学联 版权所有 违者必究
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解 原式＝lim??1?x?0??e?e???e?n??， ?n?x2xnx1x
ex?e2x???enx?n11(ex?1)?(e2x?1)???(enx?1)lim??limx?0nxnx?0x因为 x2xnx1?e?1e?1e?1?1n?1??lim?lim???lim?(1?2???n)?x?0x?0n?x?0xxx?2?n特别地 limnn?1
n??5． 几个常用的极限
n??limn?(??0)?1 limarctanx??2x???x???limarctanx???2
x???limarccotx?0x???limarccotx??
x???limex?0x???limex??
x?0lim?xx?1
x.2 单调有界原理
单调有界数列必有极限
此类问题的解题程序：（1）直接对通项进行分析或用数学归纳法验证数列{xn}单调有
n??界；（2）设{xn}的极限存在，记为limxn?l代入给定的xn的表达式中，则该式变为l的代数方程，解之即得该数列的极限。
例4 已知数列{an}：a1?1,a2?1?a1a,?,an?1?n?1,?，求liman。
n??1?a11?an?1
解 用数学归纳法可证得{an}单调增加：
a1?1,a2?1?a13?，显然a1?a2。 1?a12假设ak?1?ak成立，于是
?ak?1??ak??ak?ak?1??1??1??1?a??1?ak?1??k??ak?1?ak???(1?a)(1?a)?0
k?1k?即 ak?ak?1成立。
显然1?an?2，从而数列{an}有极限，不妨设liman?A。
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Aan?12，两遍去极限得：A?1?，即A?A?1?0，
1?A1?an?1
由于an?1?即得出A?1?5。 21?5。 2根据包号性的推论可知A非负，所以liman?n??X.3 n项和的极限
求解方法:
(1)利用特殊和式求和；（2）利用夹逼定理求极限（n个项按递增或递减排列）； 例5 求lim???1?11 ??????n??1?22?3n?(n?1)????n????1??11?1??1??1?lim?1??????????????n??1 ??2??23?nn?1n?1??????1n?1nn?122
解 原式?lim??1?例6 求lim(n??1n?1?21n?2?2???11n?n2)。 1nn?12解 因为
nn?n?limn??2n?22???n?n2?，
而limn??nn?n2?1，由夹逼准则有
?1?11＝1 ?lim??????n???1?22?3n?(n?1)??X.4 n项积的极限
（1）
（2） （3） （4）
分子、分母同乘以一个因子，使之出现连锁反应； 把通项拆开，使各项相乘过程中中间项相消； 夹逼定理
利用对数恒等式化为n项和形式。
242nn??例7 当|x|?1时，求lim(1?x)(1?x)(1?x)?(1?x)
解 原式＝lim(1?x)(1?x)(1?x)(1?x)?(1?x)
n??1?x242n激情活力 精彩学联 版权所有 违者必究
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(1?x2)(1?x2)(1?x4)?(1?x2)＝lim n??1?x＝limn
(1?x)(1?x)?(1?x)??
n??1?xnnn?1442n(1?x2)(1?x2)1?x21＝lim ?lim?n??n??1?x1?x1?x
xxxcos?cosn
n??242xxxx2nsinncos?cos?cosn2242 解 原极限＝limn??x2nsinn2xxxx2n?1cos?cos?(2cosnsinn)2422?limn??x2nsinn2xxxx2n?2cos?cos?(2cosn?1sinn?1)2422lim ＝?n ??xn2sinn2??练习 当x?0时，求limcos?limsinx2nsinx2nn???limsinxsinx?n??nxx2?n2
例8 求lim?1?解 因为1??n???1??1??1?1??1??????。 22??32??n2?
1(k?1)(k?1)k?1k?1??? k2k2kk
1??1??1??lim?1?2??1?2???1?2?n???2??3??n?
?13??24??n?1n?1??lim?????????? n??2233nn??????1n?11?lim?? n??2n2
X.5 有关闭区间上连续函数的命题的证明
证明方法有两种
1． 直接法 其程序是先利用最值定理，再利用介值定理
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