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2011年江苏省数学奥林匹克夏令营专题讲座

初等数论

江苏省天一中学 查晓东

1．设a,b,c都是整数，1?a?b?c，且abc(ab?1)(bc?1)(ca?1)，求：a,b,c。

2．证明：对?n,k?N?,f(n,k)?2?n3k?4?nk?10都不能分解成连续若干个正整数的积。

3（1）证明由2012个1和任意多个0组成的自然数不是完全平方数；

???1***???*的自然数是完全平方数。 （2）证明：存在形如111???2011个1

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4．一个完全平方数的最后n位数字是相同的非零数字。问相同的数字的个数最多可能达到多少个？并求相同数字最多的最小完全平方数。

5．设p为质数，且p?3(mod8)，若存在x,y?Z使得y2?x3?p2x， 求证：py。

6．已知m,n?N,n?1,m?4 ，且n(n?1)(n?2)???(n?m)恰有三个不同的质因子。求所有满足条件的(n,m)。

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7．求证：对i＝1，2，3，均有无穷多个正整数n，使得n，n＋2，n＋28中恰有i个可表示为三个正整数的立方和．

8．设m是一个正奇数，且m不能被3整除。证明：4m?(2?2)m的整数部分可以被112整除。

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